代数数论

本书叙述代数数论的基 本内容，分为三部分：数域 、局部域、数域上的傅里叶 分析。在数域部分，讲述代 数数域和代数整数环的基本 性质、Dedekind整环、理 想的分解、类群、类数、 Dirichlet单位定理；在局部 域部分，讲述p-进数、赋值 域、有理数域上二次型的局 部—整体原则、高阶分歧群 ；在数域上的傅里叶分析部 分，讲述局部紧Abel群上的 调和分析、adele、idele、 zeta积分。 本书深入浅出地讲解了 从基础概念到前沿课题的多 层面内容，通过详尽的分析 和有代表性的实例帮助读者 建立稳固的知识体系。本书 可作为高校数学类专业数论 课程的教材或参考书，也可 供其他科研人员参考。

第一章 代数整数环 1.1 代数数与代数整数 1.1.1 基本定义 1.1.2 整性的判断准则与基本性质 1.1.3 数域的整数环 1.2 迹与范 1.2.1 定义与性质 1.2.2 迹与双线性型 1.2.3 Hilbert定理90 1.3 判别式与整基 1.3.1 元素组的判别式 1.3.2 整基与判别式 1.3.3 整基与Eisenstein多项式 1.4 分圆域的整基 1.4.1 分圆域 1.4.2 线性不相交 习题 第二章 Dedekind整环 2.1 Dedekind整环 2.2 素理想分解定理 2.2.1 基本结果 2.2.2 其他结论 2.3 局部化 习题 第三章 数域中的素理想分解 3.1 理想的范 3.2 数域扩张下的素理想分解 3.2.1 分歧指数与剩余次数 3.2.2 Dedekind准则 3.2.3 非分歧准则 3.3 一些例子 3.3.1 二次域 3.3.2 Eisenstein多项式与素理想分解 3.4 相对差分和判别式 3.5 Galois扩张下的素理想分解 3.5.1 Galois群作用 3.5.2 分解群与惯性群 3.5.3 Frobenius自同构 3.6 分圆域中的素理想分解 3.6.1 分歧情形 3.6.2 非分歧情形 3.6.3 一般情形 3.6.4 二次互反律 3.7 Fermat大定理 习题 第四章 类群和单位群 4.1 类群的有限性 4.1.1 主要结果 4.1.2 一些例子 4.1.3 格 4.1.4 数的几何 4.2 Dirichlet单位定理 4.2.1 主要结果 4.2.2 定理4.2.1的证明 4.2.3 CM域 习题 第五章 p进数 5.1 p进数与形式幂级数 5.2 p进数与反向极限 5.3 p进绝对值 5.3.1 p进距离和完备化 5.3.2 超距几何 5.3.3 完备化与反向极限的 5.4 Qp的乘法群 5.5 p-进方程 5.6 Qp上的Hilbert符号L 5.6.1 Hilbert符号的定义和计算 5.6.2 Hilbert符号的局部—整体性质 5.6.3 Hilbert符号和K2-群 习题 第六章 二次型的局部一整体原则 6.1 二次型的代数性质 6.1.1 二次模与双线性型as 6.1.2 二维二次模证场 6.1.3 二次模的正交基越暗鼠童儿学 6.1.4 Witt环 6.2 二次型与数的表示 6.2.1 定义与性质 6.2.2 有限域上的二次型 6.3 Qp上的二次型 6.3.1 不变量d（f）和c（f） 6.3.2 Qp上二次型与数的表示 6.3.3 Qp上二次型的分类 6.3.4 R上的二次型 6.4 Q上的二次型 6.4.1 Hasse-Minkowski定理 6.4.2 Q上的二次型与数的表示 6.4.3 Q上二次型的等价 6.4.4 平方和问题 6.4.5 二次型与域扩张 习题 第七章 赋值域 7.1 赋值与赋值域 7.1.1 定义和基本性质 7.1.2 独立性和逼近定理 7.1.3 离散赋值 7.1.4 赋值的限制和扩张 7.2 离散赋值环的扩张 7.3 完备化 7.4 Hensel引理与赋值的扩张 7.4.1 Hensel引理 7.4.2 赋值的扩张：完备情形 7.4.3 Newton通近 7.4.4 Newton折线 7.5 赋值的Galois理论 7.5.1 赋值的扩张：一般情形 7.5.2 数域上的赋值 7.5.3 赋值的扩张：Galois情形 习题 第八章 局部域 8.1 局部域的代数性质 8.1.1 局部域的分类 8.1.2 p-进对数映射和p-进指数映射 8.1.3 局部域的乘法群 8.1.4 Krasner引理和局部域的扩张 8.1.5 p-进复数域Cp 8.2 高阶分歧群 8.2.1 高阶分歧群的定义和基本性质 8.2.2 Herbrand定理 8.2.3 下编号高阶分歧群的商 8.3 差分和判别式 习题 第九章 数域上的调和分析 9.1 LCA群上的调和分析 9.1.1 LCA群 9.1.2 Pontryagin对偶测度 9.1.4 Fourier变换 9.1.5 限制直积 9.2 局部域上的调和分析 9.2.1 F上的调和分析 9.2.2 FX上的调和分析 9.3 Adele和idele 9.3.1 Adele和idele 9.3.2 Adele上的调和分析 9.3.3 Idele上的调和分析 9.4 Zeta积分：局部理论 9.4.1 基本结果 9.4.2 非Archimedes情形 9.4.3 Archimedes情形 9.4.4 分布与zeta积分 9.5 Zeta积分：整体理论 9.5.1 基本结果 9.5.2 定理9.5.1的证明 9.5.3 L-函数 习题 参考文献 名词索引暨英译