数学分析选讲(第二版)

数学分析作为一门极其 重要又比较难学的基础课， 学生初学一遍，大多难以学 深、吃透、用活。但“新工 科”背景下，许多工科专业 对数学的需求日增，希望所 学高等数学的难度向数学分 析靠近。基于此，我们修订 编写了《数学分析选讲》， 是经过20年使用后的全面修 订、改编和完善。 本书与传统的“数学分析 ”和“高等数学”教材无缝衔 接，是其有关内容的拓展深 化、补充改进和灵活运用。 书中许多内容是全新的，也 包含作者的一系列教研成果 ，题目新而不偏、深而不难 、方法简便、易学好用。学 生可以在新的起点上温故强 基、解惑释疑、知新出新、 开阔思路，能力得到综合训 练，素养得以巩固提升。本 书理论、方法和范例三位一 体，贯通交融。例题和习题 丰富新颖，独创自编与整合 改编兼备，多题一解与一法 多用交织，并穿插较多注记 和思考。全书注重启发性、 综合性、典型性、交汇性、 简洁性和应用性，相信会令 读者耳目一新。 本书可以作为理工科大 学生的补充、拓展教材，可 以作为数学分析选讲课教材 ，也可作为数学教师的教学 参考书和考研学生的复习参 考书。

前言 第一版前言 第1讲 求极限的若干方法 1.1 用导数定义求极限 1.2 用微分中值定理求极限 1.3 建立新的等价关系求极限 1.4 加减运算下的等价代换求极限 1.5 用泰勒公式求极限 1.6 施笃兹定理及其应用 1.7 广义洛必达法则及其应用 1.8 利用定积分定义求极限 第2讲 实数系的基本定理 2.1 实数系、确界原理与单调有界原理 2.2 区间套定理 2.3 致密性定理 2.4 有限覆盖定理 2.5 海涅归结原理 2.6 柯西收敛准则 第3讲 上极限与下极限 3.1 数列的上下极限 3.2 函数的上下极限 第4讲 闭区间上连续函数性质 4.1 有界性定理与最值定理 4.2 零点存在定理与介值定理 4.3 一致连续与康托尔定理 第5讲 单调函数的极限与连续性 5.1 单调函数的极限存在定理 5.2 单调函数的性质和条件 5.3 单调函数间断点的特性 第6讲 导函数的两个重要特性 6.1 导函数的介值性 6.2 导函数极限定理 第7讲 中值定理的推广及其应用 7.1 罗尔定理的推广 7.2 不可微时微分中值定理的推广 7.3 引导学生探究的几个问题 7.4 柯西中值定理的别证和分式函数单调性判别法 7.5 积分中值定理的推广及其应用 第8讲 凸函数及其应用 8.1 凸函数的定义和性质 8.2 凸函数的判定条件 8.3 詹森不等式及其应用 第9讲 重积分和线面积分的计算 9.1 重积分的计算 9.2 曲线积分的计算 9.3 曲面积分的计算 第10讲 数项级数的敛散性判别法 10.1 柯西判别法及其推广 10.2 达朗贝尔判别法及其推广 10.3 拉贝判别法与高斯判别法 10.4 积分判别法与导数判别法 10.5 一般项级数的敛散性判别法 10.6 数项级数综合题 第11讲 函数项级数的一致收敛性 11.1 函数项级数的概念 11.2 函数项级数一致收敛的概念 11.3 一致收敛级数的性质 11.4 函数项级数一致收敛的判别法 第12讲 广义积分 12.1 广义积分的概念与收敛性质 12.2 广义积分的计算 12.3 广义积分的审敛法 第13讲 典型范例分类解析 13.1 零点和中值存在性 13.2 不等式的证明 13.3 一题多解和综合题 13.4 微积分方法在矩阵中的应用 参考文献