数值分析(潘斌 )

本书着重介绍了与实际应用有关的数值计算基本方法，强调了基本概念、理论和应用，特别是数值计算方法在计算机上的实现，以期读者在学完本书之后能够充分掌握这些方法，并能在计算机上进行有关的科学与工程计算. 全书共分8章，主要内容包括非线性方程求根，线性方程组数值解法，矩阵特征值与特征向量的数值计算，函数逼近，数值积分和微分，解线性代数方程组的直接方法和迭代方法，常微分方程初值问题的计算方法以及优化问题数值解法.各章配有一定数量的习题，书后附有习题答案和提示. 本书可作为理工科专业研究生和应用数学、物理、计算机等专业大学生数值分析课程的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员学习参考.

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第1章 绪论 001 1.1 数值分析的对象和特点001 1.2 误差的基本概念001 1.2.1 误差的来源001 1.2.2 误差与误差限004 1.2.3 有效数字004 1.2.4 数值运算中的误差估计005 1.3 数值运算的基本原则006 习题1 007 第2章 非线性方程求根 008 2.1 根的搜索008 2.1.1 逐步搜索法008 2.1.2 二分法008 2.2 迭代法010 2.2.1 简单迭代法010 2.2.2 迭代加速方法012 2.3 Newton 法014 2.3.1 Newton 法迭代公式014 2.3.2 Newton 法的局部收敛性015 2.3.3 针对重根情况的Newton 法016 2.3.4 简化Newton 法与Newton 下山法017 2.3.5 弦截法018 2.3.6 抛物线法019 2.4 非线性方程组的数值解法020 2.4.1 不动点迭代法020 2.4.2 Newton 法021 2.4.3 拟Newton 法022 2.5 基于MATLAB：非线性方程及方程组求解026 习题2 037 第3章 线性方程组数值解法 039 3.1 引言039 3.2 范数与误差分析039 3.2.1 向量与矩阵的范数039 3.2.2 条件数与误差分析042 3.3 高斯消元法045 3.3.1 高斯消元法介绍045 3.3.2 高斯主元消元法049 3.4 矩阵三角分解法050 3.4.1 三角分解法050 3.4.2 平方根法053 3.4.3 追赶法055 3.5 迭代法的基本原理057 3.5.1 迭代法的一般概念057 3.5.2 迭代法的收敛性058 3.6 基本迭代法061 3.6.1 雅可比迭代法061 3.6.2 高斯-赛德尔迭代法062 3.6.3 超松弛迭代法063 3.7 共轭梯度法067 3.7.1 与方程组等价的变分问题067 3.7.2 最速下降法068 3.7.3 共轭梯度法(CG 方法) 069 3.8 基于MATLAB：线性方程组的求解072 习题3 081 第4章 矩阵特征值与奇异值分解 084 4.1 引言084 4.2 幂法与反幂法086 4.2.1 幂法086 4.2.2 加速方法089 4.2.3 反幂法090 4.3 正交变换与矩阵分解091 4.3.1 豪斯霍尔德变换与吉文斯变换091 4.3.2 QR 分解与舒尔分解094 4.3.3 基本QR 算法及其收敛性098 4.4 雅可比方法099 4.4.1 引言099 4.4.2 Jacobi 方法介绍100 4.4.3 Jacobi 过关法103 4.5 奇异值分解104 4.5.1 一般情况下求SVD 106 4.5.2 特殊情况: 对称矩阵107 4.5.3 SVD 的性质108 4.6 基于MATLAB：矩阵分解及特征值、特征向量的计算109 习题4 115 第5章 函数插值与逼近 117 5.1 引言117 5.2 拉格朗日插值法118 5.2.1 拉格朗日插值多项式118 5.2.2 插值余项与误差估计121 5.3 牛顿插值法123 5.3.1 均差123 5.3.2 牛顿插值多项式及其余项124 5.4 差分与等距节点插值公式125 5.4.1 差分及其性质125 5.4.2 等距节点插值公式127 5.5 Hermite 插值129 5.6 分段低次插值132 5.6.1 分段线性插值132 5.6.2 分段三次Hermite 插值133 5.7 三次样条插值134 5.7.1 三次样条插值问题的提法及常见边界条件134 5.7.2 三次样条插值函数的求法135 5.8 三角插值与快速傅里叶变换140 5.8.1 周期函数的三角插值140 5.8.2 快速傅里叶变换142 5.9 函数逼近及最小二乘法144 5.9.1 内积空间及函数的范数144 5.9.2 正交多项式145 5.9.3 函数逼近149 5.9.4 曲线拟合的最小二乘法151 5.10 基于MATLAB：函数插值与逼近157 习题5 169 第6章 数值积分与数值微分 172 6.1 引言172 6.1.1 机械求积公式172 6.1.2 代数精度173 6.2 牛顿-科茨求积法174 6.2.1 牛顿-科茨求积公式174 6.2.2 求积公式的余项与误差估计176 6.3 复化求积法177 6.3.1 复化求积公式177 6.3.2 龙贝格求积公式179 6.4 高斯求积法182 6.4.1 高斯求积公式182 6.4.2 高斯求积公式的余项与误差估计183 6.4.3 几种常见的高斯求积公式184 6.5 数值微分185 6.5.1 差商型求导方法185 6.5.2 插值型求导方法186 6.6 基于MATLAB：数值积分与数值微分186 习题6 195 第7章 常微分方程数值解法 197 7.1 引言197 7.2 欧拉方法198 7.2.1 欧拉公式（折线法） 198 7.2.2 梯形公式199 7.3 龙格-库塔（Runge-Kutta）法201 7.3.1 低阶龙格-库塔法的基本思想201 7.3.2 低阶龙格-库塔法202 7.4 多步方法203 7.4.1 基于数值积分的构造方法203 7.4.2 Milne 公式及Hamming 公式207 7.5 常微分方程组数值解208 7.5.1 一阶方程组208 7.5.2 化高阶方程为一阶方程组209 7.5.3 刚性方程组211 7.6 基于MATLAB：常微分方程求解212 习题7 218 第8章 优化问题 220 8.1 引言220 8.2 无导数的无约束优化220 8.2.1 黄金分割搜索221 8.2.2 连续抛物线插值224 8.2.3 Nelder-Mead 搜索算法226 8.3 带导数的无约束优化229 8.3.1 牛顿法229 8.3.2 最速下降法231 8.3.3 共轭梯度法232 习题8 235 参考文献 236