近世代数及其实验

本书内容包括群论、环 论、域论初步和近世代数 实验四章。全书以群、环 、域三大核心概念为主线 ，系统梳理了近世代数的 理论体系，并在此基础上 创造性地引入了数学实验 。将抽象的理论知识转化 为具体可操作的数学实验 ，既有助于学生更直观地 了解近世代数在实际中的 应用，真切感受到近世代 数与现实世界的紧密联系 ，还有助于学生巩固所学 知识，激发学习的兴趣， 提升理论水准，强化知识 应用能力。 本书可作为高等院校数 学与应用数学、信息安全 、计算机科学、物理、化 学等专业的本科生或研究 生学习“近世代数”课程的教 材，也可供相关专业教师 及科技工作者阅读参考。

第1章 群论 1.1 群的概念和例子 1.1.1 半群和群的概念 1.1.2 伽罗瓦简介 习题1.1 1.2 两个重要的例子 1.2.1 剩余类加群 1.2.2 对称群 1.2.3 群的普遍存在性 习题1.2 1.3 子群 1.3.1 子群和元素的阶 1.3.2 生成子群 1.3.3 非结合运算介绍 习题1.3 1.4 陪集 1.4.1 Lagrange定理 1.4.2 Euler定理 1.4.3 代数学基本思想介绍 习题1.4 1.5 正规子群 1.5.1 正规子群 1.5.2 商群 习题1.5 1.6 群同态 1.6.1 群同态定义 1.6.2 同态基本定理 习题1.6 1.7 循环群 1.7.1 循环群的分类 1.7.2 循环群的自同构群 习题1.7 1.8 置换群 1.8.1 Cayley定理 1.8.2 对称群的正规子群 习题1.8 1.9 群对集合的作用 1.9.1 轨道稳定定理 1.9.2 类方程 习题1.9 1.10 Sylow定理 1.10.1 Sylow定理 1.10.2 Sylow定理应用举例 习题1.10 1.11 群的直积 1.11.1 外直积和内直积 1.11.2 低阶群的分类 习题1.11 第2章 环论 2.1 环的概念和基本性质 2.1.1 环的概念 2.1.2 华罗庚简介 习题2.1 2.2 子环、理想与商环 2.2.1 子环与理想 2.2.2 商环 习题2.2 2.3 环同态 2.3.1 同态的概念和性质 2.3.2 中国剩余定理介绍 习题2.3 2.4 特征与分式域 2.4.1 环的特征 2.4.2 整环的分式域 习题2.4 2.5 整环中的因子分解 2.5.1 整除与素元 2.5.2 最大公因子 习题2.5 2.6 唯一分解整环 2.6.1 唯一分解整环 2.6.2 主理想整环和欧氏环 习题2.6 2.7 多项式 习题2.7 第3章 域论初步 3.1 域的扩张 3.1.1 域的扩张 3.1.2 单扩域 习题3.1 3.2 代数扩域 3.2.1 扩张的次数 3.2.2 代数扩域 习题3.2 3.3 分裂域 3.3.1 分裂域的概念 3.3.2 分裂域的唯一性 习题3.3 3.4 有限域 习题3.4 第4章 近世代数实验 4.1 同余的应用 实验4.1 4.2 群在计算机中的存储 实验4.2 4.3 图形的对称性 实验4.3 4.4 群作用举例 实验4.4 4.5 线性纠错码 实验4.5 4.6 GAP简介及应用 实验4.6 参考文献