微分方程Ⅰ

本书是按照教育部数学“101 计划”核心教材的要求为高等学校本科生精心编写的“常微分方程”课程教材, 主要介绍常微分方程初步知识, 内容包括基本概念、初等积分法、线性微分系统、一般理论、边值问题、定性理论初步等，涉及高阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的通解结构和特征理论、非线性微分方程解的存在性和唯 一性、解对初值和参数的连续依赖性及可微性、平衡点的稳定性及其附近轨道的拓扑结构、周期轨道的存在性、双曲系统的线性化及结构稳定等方面. 本书注重联系实际，通过机械、生态、经济等领域中的微分方程建模介绍微分方程的基本概念；同时，也注重迎合新世纪学科发展趋势，将变量分离微分方程和恰当方程等古典内容同现代可积理论相结合，将线性微分系统一般理论延伸到周期系数微分系统的Floquet 理论，将解存在性和唯 一性的基础理论同解的数值逼近方法联系起来，并由此引出动力系统的定性分析. 另外，本书通过介绍周期轨道是否不存在的判据让读者了解中国学者对著名的Hilbert 第16 问题的重要贡献，通过介绍线性化理论展现特征值分析对判断定性性质的重要作用. 本书以培养建立、理解、分析、计算微分方程并用于解决实际问题的能力为目标，适用于数学专业本科生，也可供实验、工程学科的学生、教师和科研人员参考和使用.

柳彬 ---------------------------- 柳 彬 北京大学数学科学学院教授、博士生导师，北京市教学名师. 主要从事常微分方程定性理论研究. 2001年获教育部青年教师奖，2001年获中国高校自然科学奖一等奖，2003年国家杰出青年基金获得者。在常微分方程领域发表文章四十余篇. 肖冬梅 ---------------------------- 肖冬梅 上海交通大学教授（二级岗）、博士生导师，国家杰出青年基金获得者。主要从事微分方程与动力系统教学与研究，在微分方程定性与分岔理论及其在生物数学中的应用开展工作。 张伟年 ---------------------------- 张伟年 四川大学教授（二级岗）、博士生导师，国家杰出青年基金获得者。他从事微分方程与动力系统教学与研究，在光滑线性化与含参正规形理论、退化奇点及退化同宿轨分岔、迭代与差分系统动力学开展工作。

第一章 基本概念1 1.1 微分方程模型2 习题1.1 7 1.2 微分方程概念7 习题1.2 11 1.3 微分方程形式12 习题1.3 15 第二章 初等积分法17 2.1 变量分离的微分方程18 习题2.1 25 2.2 一阶线性微分方程26 习题2.2 33 2.3 全微分方程34 习题2.3 42 2.4 隐式微分方程42 习题2.4 46 2.5 一阶微分方程组47 习题2.5 57 2.6 应用问题举例58 2.6.1 传染病传播问题58 2.6.2 等角轨线问题62 2.6.3 天体力学中的二体问题65 习题2.6 70 第三章 线性微分系统71 3.1 一般理论72 3.1.1 预备知识73 3.1.2 解的全局存在性与唯一性76 3.1.3 齐次线性微分系统解的结构80 3.1.4 非齐次线性微分系统解的结构87 习题3.1 92 3.2 常系数线性微分系统94 3.2.1 常系数线性微分系统的求解95 3.2.2 常系数齐次线性微分系统解的性质104 习题3.2 110 3.3 周期系数线性微分系统112 习题3.3 120 3.4 高阶线性微分方程120 3.4.1 解的性质与通解结构122 3.4.2 高阶常系数线性微分方程的求解128 习题3.4 138 第四章 微分方程一般理论141 4.1 准备知识142 习题4.1 146 4.2 n 维线性空间中的微分方程146 4.3 Picard 定理147 习题4.3 155 4.4 Peano 定理155 习题4.4 160 4.5 解的延伸161 习题4.5 164 4.6 比较定理165 习题4.6 172 4.7 解对初值和参数的连续依赖性172 习题4.7 177 4.8 解对初值和参数的连续可微性177 习题4.8 182 4.9 奇解183 习题4.9 192 第五章 边值问题193 5.1 Sturm 比较定理194 习题5.1 200 5.2 Sturm-Liouville 边值问题201 习题5.2 208 5.3 特征函数系的正交性209 5.4 周期边值问题212 习题5.4 221 第六章 定性理论初步223 6.1 轨道与动力系统224 6.1.1 不变集与极限集228 6.1.2 向量场的等价类231 6.2 Lyapunov 稳定性234 6.2.1 按线性近似判断稳定性236 6.2.2 Lyapunov 第二方法242 习题6.2 245 6.3 平面平衡点与极限环246 6.3.1 平面平衡点分类246 6.3.2 极限环的存在性255 习题6.3 259 6.4 双曲性与线性化260 习题6.4 271 6.5 结构稳定性271 习题6.5 276 名词索引277 参考文献282