牛津通识读本：数理金融学

金融业已成为现代经济的重要组成部分，并且吸引越来越多理工科背景的毕业生加入该行业担任量化分析师，他们有能力凭借卓越的数学和计算技能来解决投资领域的资产估值和风险管理等复杂问题。1965年至1995年间，经济学中关于资产估值的深刻见解被转化为数学上的“套利理论”，其di一个成就是著名的布莱克-斯科尔斯模型，随后便是利用现代数学的所有资源进行的广泛研究。本书基于套利理论系统阐释了资产定价模型在期权、利率、信用交易、基金管理和风险管理中的广泛应用，并总结了当今数理金融学领域亟待解决的诸多问题。自2008年金融危机以来，随着新技术的发展和金融复杂性的提升，数理金融学研究也在与时俱进，以便更好地应对当前所面临的新挑战。

马克？H. A. 戴维斯 伦敦帝国理工学院数学系高级研究员，拥有英国剑桥大学的数学博士学位以及美国加州大学伯克利分校的电气工程和计算机科学博士学位，2002年曾被伦敦数学学会授予奈勒应用数学奖。在伦敦帝国理工学院成立数理金融研究团队之前，他曾在总部位于伦敦的投资银行东京三菱国际担任了五年的研究和产品开发主管。

第一章 货币、银行和金融市场 货 币 金融与货币息息相关，然而货币却是难以捉摸的概念。在非接触式卡片和移动电话支付的时代，更证实了这一点。在这个时代，货币不再有任何实物形式，比特币等加密货币系统是否有资格成为货币，这一问题仍存在争论。在当今商业领域，货币往往以电子数据的形式存在，表现为电子表格里的一系列数字。然而，这些数字代表的实际金额巨大，常常以百万、十亿甚至万亿为单位。在媒体报道中，将数额庞大的资金错报为较小的数目是一种常见错误——一个简单的字符印刷错误就可能致使报道出现天壤之别的金额差异。 人们很早就认识到交换媒介是必要的。最初的媒介是商品，使用一定数量的特定商品，如大米、橄榄油或铜作为货币单位，以此来规定其他商品、制成品或劳动的价格。一个重要的概念和实践就是引入法定货币。在法定货币中，任何商品的价值都用抽象的单位来表示，比如美元，因此任何两种商品之间的交换比率都只是其美元价格之比。要将这一想法付诸实践，个人必须自己储存和兑换美元，而铸币让这一目标得以实现。法定货币是建立在信任基础之上的。如果一件商品的价格为10美元，买家必须确保交出了价值10美元的货币，才能得到商品，同时，卖家必须确保他们收到的货币是真币，而不是私铸的假币。只有通过货币当局——通常是官方政府部门——发行货币并调节货币流通量，同时采取行动限制货币伪造，才能建立信任。在历史上，信任破产的例子不胜枚举。铸币最初采用贵金属，但随着时间的推移，铸币的物理价值只占其货币价值的一小部分，因此实际上相当于纸币。公元960年至1127年，中国的宋朝引入了纸币（当时西方几乎没有纸的存在，更不用说纸币了）。纸币经过漫长的时间才演变成如今人们熟知的纯法定货币：直到第一次世界大战及之后，纸币通常由黄金支撑，理论上可以兑换黄金。实际上，直到现在，英国的纸币上还印有英格兰银行首席出纳官签名的承诺——“我承诺按要求向持票人支付十英镑”，这是对其传统金本位承诺的一种象征性延续。然而，随着时间的推移和纸币设计的多次更新，这一承诺的字样在纸币上的显眼程度逐渐减弱。 除了用作交换媒介之外，货币还起到价值储存的作用。比如今天得到了货币，可以不必花掉，而是存放在保险箱内——在经历了几十年近乎零的利率后，这种做法在日本比比皆是——或者可以在银行开立活期账户。在后一种情况下，很明显，活期账户余额不亚于现金本身。活期存款的总价值大大超过流通中现金的价值。在计量经济学中，狭义货币M1指的是现金和活期账户存款的总价值。2016年8月，英国的M1总价值为1.62万亿英镑，其中678亿英镑是纸币，另外40亿英镑是硬币，这意味着银行存款价值是纸币和硬币的二十多倍，并且随着电子支付的普及，这个数字只多不少。相比之下，2015年英国的国内生产总值（GDP）约为1.9万亿英镑。货币交易需求是支撑整个经济中当前交易速度所需的金额，央行还要提供足够的纸币和硬币来满足涉及现金的交易需求。 前文只讨论了货币在日常交易中的作用。然而，更重要的是，要以长远眼光看待货币的作用。正如约翰·梅纳德·凯恩斯所说：“货币的重要性本质上源于它是当前和未来之间的纽带。”这种纽带是由银行和金融市场活动以各种方式形成的。 从最简单的层面来说，银行的运作方式就是从账户持有人那里吸收存款，然后以存款为支持，向个人或公司发放贷款，并收取利息，以此来实现盈利。人们很早就意识到，贷款的价值不应局限于存款的价值；比如说，10%的准备金率即可以确保充足的流动性，意味着有能力满足账户持有人的日常需求。因此，银行如有100万英镑的存款，则可以发放900万英镑的贷款。借款人首先把贷款存入活期账户，然后贷款转换成货币，从而促进狭义货币M1的增加。以这种方式，“部分准备金制度”极大地增加了货币供应量。贷款被偿还时，货币供应量会再次减少，但就整个经济而言，总有大量未偿还贷款。银行贷款是将资源从未来带回而用于现在的最简单方式，以实现新产品开发、买房或支付学费等多种目的。无论何种情况，由于需要偿还贷款，借款人的未来资源会相应减少，而贷款人承担了借款人可能违约的风险。 中央银行并不直接控制货币供应量，但采用各种间接方式来影响银行的活动。所有银行活动均受其经营所在地的中央银行监管。例如，英格兰银行设定了一个“基准利率”，即商业银行贷款利率。这影响了银行向客户贷款的利率，进而影响了将发生的贷款数额。 金融市场 金融市场作为一个整体，为筹集资金以及管理和交易与之伴随的风险确立了各种机制，为投资者、基金经理和投机者提供了无数机会。传奇投资人爱德华·奥克利·索普曾说过，赌博和投资的区别在于后者听起来更为高尚。本节概述了各种金融市场机制，但并非详尽无遗。 股权。发行股份（股票）是企业为未来的投资筹集资金的主要机制之一。对于初创企业，需要起草一份首次公开募股文件，然后邀请投资者以拟上市前不久设定的价格认购股本。在承诺认股后，投资者获得一定份额的股份，认购总额代表公司的股本或股权。公司由股东所有，股东期望将来可以收获股息，并且随着企业的建立而参与提升股份的价值。股份发行后，股票会在证券交易所上市，可以在某些电子交易平台上进行交易；在第八章中描述了一种交易机制，即限价委托簿（LOB）。这个二级市场与公司本身无关，因为资金只是从一个投资者手中流转到另一个投资者手中，但是它决定了公司的市值（等于股份数量乘以股价）。股东的看法与收购要约等战略决策紧密相关。股权投资的本质是，除了“有限责任”规则之外，没有任何保证；在“有限责任”规则下，股份的价值永远不会为负。股份购买者押注公司成功，但和大多数赌注一样，他们可能面临失去全部投资的风险。债券。公司筹集资金的另一种方式是发行债券。债券购买人在一个固定时间段内（比如说五年）把钱（面值）借给公司。公司通常每年或每半年（每六个月）支付一次“票息”，所支付的利率是约定的利率：可以是“固定利率”，即在债券有效期内，利率固定在比如说每年5%；也可以是“浮动利率”，即利率遵循商定的当前市场利率。债券到期时，公司结清利息并偿还债券面值。债券一旦发行，就是一种可交易资产，可以在交易平台上以当前市场价格进行交易。第四章和第五章讨论了债券估值机制。在发行债券时，公司承诺无论成功与否均将按时足额支付预定款项。否则，公司的信用评级将受到影响，导致未来筹集资金变得更加困难且耗费更多。在持有债券期间，债券购买人可以获得可预测的收入流，也可以在市场利率有利时出售债券获利。如果公司违约，则债券购买人的收益就高度不确定了——可能远低于面值，或者在最坏的情况下，一无所有。简而言之，债券的风险状况与股票截然不同。 信用风险。由于企业违约的不确定性，债券持有人自然希望为这种不测事件投保以防损失。严格来说，违约风险是指债券发行人无法履行债券条款的风险，即未能按时全额支付利息或偿还本金。自20世纪90年代中期以来，投资者已经通过信用违约掉期（CDS）机制来获得担保。在关于XYZ公司违约风险的CDS合约中，投资者根据XYZ公司的信用价值，在XYZ公司所发行债券的期限内，向第三方（如ABC公司）支付一种定期保费。如果债券条款得到充分执行，则ABC公司不支付任何费用，否则以其他方式向投资者支付债券面值与违约后回收价值之间的差额。持有附加了CDS合约的XYZ公司债券，几乎相当于持有没有违约风险的债券。这听起来很简单，但事实并非如此。首先，这一切都取决于ABC公司的风险比Z公司更低。然后是市场规模：一开始市场规模并不大，但在2007年迅速发展到顶峰的62万亿美元（所有有效的CDS合约规定的总面值），但在金融危机后，CDS合约开始失宠，目前大约是顶峰规模的十分之一（但数额仍然相当巨大！）。CDS合约如债券一样也是可交易的资产——这与普通保险存在本质区别—而且违反了保险的基本原则，即不为自己不拥有的东西投保。如果我可以为邻居的房子投保，那么我就有充分的动机把房子烧掉骗保。如果有其他人为同一栋房子投保，他们也会提出索赔。这种情况在2005年确实发生过，当时美国汽车零部件制造商德尔福违约，导致向CDS立权人索赔的金额超过了德尔福债券面值的十倍。 外汇。外汇市场是世界上规模最大、流动性最强的市场。与位于主要的实体交易所的股票和期货市场不同，外汇市场是一个分散的场外交易市场（OTC），在全球电子交易平台上进行交易。美元占外汇交易量的85%，欧元以40%的份额位居第二，然后是日元，约占20%。交易主要就是集中在这三种货币上。由于交易体量过于庞大，外汇交易员可以将注意力集中在少数几个主要货币上。2016年，日均交易量约为5万亿美元，其中约90%是外汇投机者利用日内价格波动产生的。相比之下，期货市场的日交易量为4500亿美元，股票市场为2000亿美元，纽约证交所为300亿美元。2016年，美国的年度GDP约为18.6万亿美元。 远期、期货和期权。衍生品合约，或者简称为“衍生品”，在金融领域无处不在，也是许多学术界和实务界研究正确定价的着眼点。“衍生”是指合约的价值取决于或衍生自一种或多种标的资产（如股票价格或外汇汇率）的价值。 最简单的合约是远期合约，即在未来某一特定时间以当前约定的价格交易资产的协议。假设我承诺在六个月后向某个交易对手交付1000股劳斯莱斯股票。现在的股价是9.13英镑。我可以等待并在到期当天购买股票进行交割；当然了，我并不知道那时要支付多少金额。另一个策略则是这样：我以约定的六个月2%的利率从银行借款9130英镑，然后立即就购买了1000股股票。当交割时间到来时，我交付股票，并支付9130×1.02=9312.60英镑给银行清算贷款，这是我与交易对手约定的价格。实际上，我已经为这些股票设定了9.31英镑的远期价格。是否有其他更微妙的策略产生更低的有效价格？这将在第三章予以讨论。这个问题的答案是否定的。在上述计算中，股息被忽略了。因为我拥有股票，所以我将收到股息，所以我不需要向银行借那么多钱，这会降低远期价格，因为7在这么短的时间内，远期价格是可以准确估计的。重要的一点是，远期价格只取决于当前价格、利率和股息。无须用任何价格变动模型来计算远期价格。用当前的行话来说，这是一个“无模型”的结果。 远期定价的一个常见用途是确定外汇汇率。如果六个月内交付的商品是外币，比如支付给一家英国公司1000万欧元，那么一个额外因素即欧元利率就不可忽视了。假设现在我不购买这1000万欧元，而是购买一笔款项，存入欧洲银行六个月后累积到1000万欧元。在外汇交易中，外汇利率的作用与国内交易中的“股息收益率”相同。股息收益率是表示股息支付的一种传统方式，其中假设在一段时间内以等于当前价格的固定部分q的比率连续支付股息。 对于远期交易，尚未建立一个有组织的市场；任何现有合约都是双方之间的双边合约，因此存在一个明显问题，即违约风险。继续前述购买劳斯莱斯股票的例子，我已同意以9.31英镑的价格购买劳斯莱斯的股票。但假设特定时间到来时现货价格是9.20英镑，那么撕毁远期合约并在公开市场上交易股票才符合我的最大利益。然而，远期合约明确规定我有权利也有义务以更高的价格买入股票。在期货市场中，存在一个既保留远期合约收益结构同时又消除“退出”风险的机制。与远期相比，期货在交易所交易：交易所是所有交易的对手方，价格由供需决定。原理如下：所有参与者必须在交易所开立所谓的保证金账户，其中必须保持一定的最低余额。交易所的期货合约规定了与之相关的资产和最终到期日T。注意，资产本身无须直接交易。事实上，一些大型期货市场与标普500指数或富时100指数等股票指数相关。理论上，可以适当比例购买所有成分股来交易指数，但这是完全不切实际的；期货合约交易是一种间接但有效的指数交易方式。简单来说，让我们只考虑每天一次的交易，交易日为0，1，…，N，其中0是合同开始时间，N对应于到期日T。期货价格fk在每k天公布，Sk表示标的资产的现货价格。如果一个投资者的投资组合的价值在标的资产价格上涨时上升，则为多头；如果投资组合的价值在标的资产价格下跌时上升，则为空头。期货市场的规则是： 1.投资者想在第k0天加入合约，只须宣布加入并说明希望投资的合约单位数量，以及希望买入市场的哪一方，是多头还是空头。此刻，投资者和交易所均无须付款。 2.在k0之后的每一天，比如第j天，投资者的保证金账户会贷记一笔款项（多头情况下）或（空头情况下）。如果账户余额低于允许的最低水平，将会被要求“追加保证金”。 3.在最后到期日N，期货价格fN按照定义等同于标的资产现货价格SN。 假设忽略保证金是在不同时间支付的事实，每份合约的总支付款，如果是多头，则为 （其他予以对消）。这相当于以合约签订时的期货价格买进一单位的标的资产。如果是空头，则净付款为，相当于以同样的价格卖出。期货市场的一项关键特性是，可以轻易做多或做空。如果一个人希望在到期前退出期货合约，只需买卖另一份市场的反向合约即可。 与远期价格相比，期货价格的估值并非没有模型，而是比较复杂。事实证明，公平期货价格ft与相应的远期价格F（t，T）之间的差额可以忽略不计，非常长期利率的期货除外。除此之外，从经济角度来看，远期和期货的本质相同。 最后是期权。期权解决了前文提到的远期合约的缺陷，即投资者有义务履行合约，即使履行合约对投资者是不利的。期权是两方即持权人（买方）和立权人（卖方）之间的合约。举个最简单的例子：一只价格为St的股票看涨期权，由行权时间T和行权价格K指定。在合约开始时持权人向立权人支付一笔费用即期权费，从此持权人有权但无义务在时间T以价格K买进股票。如果持权人愿意进行交易的话，立权人接受期权费后，有义务交付股票，以换取价款K。如果，则行权，因为持权人可以低于实际价值的价格买进股票；原则上，持权人可以立即在市场上出售期权，赚取利润（期权通常以现金结算：行权时，立权人向持权人支付现金）。反之，如果，则持权人不会行权，期权到期时一文不值。看跌期权是指以K价格卖出的权利；当且利润为时，将行权。看涨和看跌期权的行权价格分别为和，其中表示X和0中的较大者；其形似“曲棍球棒”。 是什么构成了看涨期权或看跌期权的“公平期权费”？这一问题直到1973年布莱克和斯科尔斯的决定性结果才得以解决。这一结果促进了数学研究和市场交易活动的爆炸式发展。期权曾被看作一种稀缺之物，但如今已发展成众多金融市场不可或缺的一部分。

序言 前 言 第一章 货币、银行和金融市场 第二章 风险量化 第三章 期权定价的经典理论 第四章 利率 第五章 信用风险 第六章 基金管理 第七章 风险管理 第八章 银行危机及其后果 索 引 英文原文