基础拓扑学及应用

本书主要介绍拓扑学基 础与核心内容和一些基本应 用。前四章是点集拓扑学的 基本内容，包括拓扑空间与 连续映射、构造新空间和拓 扑空间的最常见的一些拓扑 性质等；第5—9章是代数拓 扑的基本理论，包括基本群 、曲面的拓扑分类、覆叠空 间和单纯同调理论等；第10 章提供拓扑学在信息科学、 物理学和分子生物学等领域 的一些常见的简单应用案例 。 全书由浅入深，循序渐 进，且附录给出学习本书应 具备的基础知识。书中例题 、习题丰富且相辅相成，均 围绕定义、定理等展开。本 书配备了大量图形，使各种 拓扑概念和实例可视化，以 辅助读者理解相关的拓扑概 念。 本书是为数学基础较好 的本科生编写的拓扑学入门 教材，也可供对拓扑学及其 应用感兴趣的读者参考。

第1章 拓扑空间与连续映射 1.1 拓扑空间 1.1.1 拓扑空间的定义 1.1.2 拓扑基 1.2 内部、闭包、边界与拓扑子空间 1.2.1 内部、闭包和边界 1.2.2 拓扑子空间 1.3 连续映射、同胚与拓扑性质 1.3.1 连续映射及性质 1.3.2 同胚映射与拓扑性质 第2章 构造新空间 2.1 乘积空间 2.1.1 乘积空间的定义与基本性质 2.1.2 投射及性质 2.2 度量空间 2.2.1 度量空间的定义与基本性质 *2.2.2 有界度量与等距变换 2.3 商空间与商映射 第3章 分离性与可数性 3.1 分离性与可数性 3.1.1 分离性 3.1.2 可数性 3.2 乌雷松引理、蒂策扩张定理与可度量化空间 3.2.1 乌雷松引理 3.2.2 蒂策扩张定理与可度量化空间 第4章 连通性与紧致性 4.1 连通空间 4.1.1 连通空间的定义与性质 4.1.2 连通分支 4.1.3 连通性在拓扑学中的一些简单应用 4.2 道路连通空间 4.2.1 道路连通空间的定义与性质 4.2.2 局部连通与局部道路连通 4.3 紧致空间 4.3.1 紧致空间的定义 4.3.2 紧致空间的性质 4.4 度量空间中的紧致性 第5章 同伦与基本群 5.1 同伦与同伦等价 5.1.1 同伦的定义和基本性质 5.1.2 相对同伦 5.1.3 空间的同伦等价 5.2 基本群定义和性质 5.2.1 道路类及性质 5.2.2 基本群的定义与基本性质 5.2.3 基本群的同伦不变性 5.3 基本群计算Ⅰ——几个简单情形 5.3.1 π1(S1)的计算 5.3.2 π1(Sn)(n≥2)的计算 5.3.3 乘积空间X×Y的基本群 5.4 基本群计算Ⅱ——利用范坎彭定理与伦型 5.5 基本群的应用 5.5.1 几个经典应用 *5.5.2 若尔当曲线定理 第6章 曲面的拓扑分类 6.1 拓扑流形 6.2 紧致连通曲面的多边形表示 6.2.1 多边形表示的定义 6.2.2 多边形表示的手术与性质 6.3 紧致曲面的拓扑分类 6.3.1 闭曲面的标准多边形表示 6.3.2 闭曲面的拓扑分类定理 第7章 覆叠空间 7.1 覆叠空间的定义与性质 7.1.1 覆叠空间的定义与基本性质 7.1.2 覆叠空间的基本群 7.2 映射提升准则 *7.3 覆叠空间的分类与泛覆叠空间 第8章 单纯同调理论 8.1 单纯复形与单纯剖分 8.1.1 单纯形与单纯复形 8.1.2 多面体与可剖分空间 8.2 单纯同调群 8.2.1 链群、边缘同态与单纯同调群 8.2.2 同调群的性质 8.3 单纯同调群的计算 8.3.1 锥复形的同调 8.3.2 曲面同调群的计算 第9章 单纯同调群的同伦不变性与应用 *9.1 单纯映射、重心重分与单纯逼近 9.1.1 单纯映射 9.1.2 重心重分 9.1.3 单纯逼近定理 9.1.4 曲面多边形表示的存在性定理的证明 *9.2 单纯同调群的同伦不变性 9.2.1 辐式重分 9.2.2 同调群的同伦不变性 9.3 同调群的应用 9.3.1 几个简单应用 9.3.2 欧拉示性数与曲面分类 9.3.3 映射度及其应用 第10章 拓扑学的应用 10.1 拓扑学在信息科学中的应用 10.1.1 维数拓扑及其在图像处理中的应用 10.1.2 拓扑学在地理信息系统中的应用 10.1.3 度量空间在纠错码理论中的应用 10.1.4 拓扑数据分析(TDA) 10.1.5 超图及其应用 10.2 拓扑学在物理学中的应用 10.2.1 构形空间与相空间 10.2.2 拓扑学在凝聚态物理中的应用 10.3 拓扑学在机器人学中的应用 10.4 拓扑学在分子生物学中的应用 10.4.1 度量空间在DNA中的应用 10.4.2 纽结理论在分子生物学中的应用 10.5 拓扑学在动力系统以及生物种群数量研究中的应用 10.5.1 离散动力系统与混沌 10.5.2 两个典型应用案例 10.6 不动点定理在经济学中的应用 10.6.1 纳什均衡及其意义 10.6.2 不动点定理与纳什均衡 10.7 同伦在心脏搏动模型中的应用 附录 预备知识 A.1 集合与映射 A.1.1 集合及其运算 A.1.2 映射 A.1.3 关系 A.2 群论简介 A.2.1 群的定义和基本性质 A.2.2 有限表现群和群的自由积与融合积 A.2.3 交换群 参考文献 索引