简明实用高等数学

微积分是数学体系中最 为重要的分支，兼具深厚的 理论基础与广泛的应用价值 ——为物理学、化学、医学 、经济学等诸多学科提供了 强有力的支撑。近年来，以 深度学习为代表的计算机科 学迅猛发展，其核心理论都 离不开微积分的支持。本书 作为面向工科学生的微积分 教材，一方面希望帮助大学 新生掌握微积分的核心内涵 ，另一方面旨在助力高年级 本科生与研究生熟练运用微 积分以解决实际问题。 本书共9章：第1章为基 础数学知识；第2～4章分别 介绍极限、微分、积分三大 核心基础知识；第5章讲解 微分方程，包括常见的一阶 与二阶微分方程；第6～8章 介绍多元函数微积分有关知 识，分别是空间几何、多元 函数微分与重积分；第9章 讲解无穷级数知识点，包括 常数项级数、幂级数与傅里 叶级数。 本书可作为高等院校理 工科相关专业本科一、二年 级数学类课程的教材或相关 课程的参考书，可供从事计 算机、物理等专业相关工作 的科研人员和工程师的案头 参考书，还可供需要提前学 习大学数学知识的高中生及 数学爱好者阅读。

\"李天意 B站学习区知名UP主，本硕毕业于南京理工大学（武器发射工程与兵器发射理论专业），香港大学教育学博士研究生。具有8年高等数学教学经验，教学理念主张通俗易懂、学以致用，重塑学生学好数学的信心。制作B站爆款高等数学教程视频，视频播放量超2000万次，全网粉丝100余万。曾获全国大学生数学建模竞赛国家级二等奖、国家奖学金、南京理工大学校长奖章等奖项。 姜海景 硕士毕业于南京师范大学数学系。曾获无锡市科学技术进步奖二等奖，参与国家自然科学基金项目，南京航空航天大学学生网评最受欢迎老师之一。移居香港后，创办国际著名期刊《Knowledge Management & E-Learning》（JCR 2023：Impact Factor 2.5，教育学和教育研究，1区；Scopus 2023：CiteScore 4.7，教育，1区）。现为该期刊编辑部主任，兼香港大学的知识管理与数位化学习实验室（KM&EL Lab）高级顾问。\"

第1章 基础数学知识 1.1 基本函数 1.1.1 幂函数 1.1.2 指数函数 1.1.3 对数函数 1.1.4 三角函数 1.1.5 反三角函数 1.1.6 反函数 1.2 常用代数等式 1.3 有理分式化简 1.3.1 假分式转换 1.3.2 分母分解 1.4 极坐标 第2章 极限： 数列极限和函数极限 2.1 极限的基本概念 2.1.1 数列极限 2.1.2 函数极限 2.2 无穷大与无穷小 2.2.1 基本概念 2.2.2 比值运算规律 2.3 两个特殊极限 2.3.1 关于sinx的极限 2.3.2 关于自然常数e的极限 2.4 函数的连续性与间断点 2.5 结语 第3章 微分与导数 3.1 导数的基础概念与运算 3.1.1 变化率与导数 3.1.2 导数基本运算 3.1.3 其他形式函数的导数计算 3.1.4 特殊情形的导数 3.2 导数基本应用 3.2.1 函数的单调性与极值点 3.2.2 函数的凹凸性与拐点 3.2.3 洛必达法则 3.3 微分运算及其应用 3.3.1 微分基本运算规则 3.3.2 相关变化率 3.4 超越方程与牛顿迭代法 3.5 结语 第4章 积分： 不定积分与定积分 4.1 不定积分(原函数) 4.1.1 基础原函数公式 4.1.2 凑常数积分法： (ax+b)当作整体 4.1.3 凑导数积分法： “函数+导数”组合 4.1.4 有理分式积分： 两次简化，四种类型 4.1.5 换元积分法： 消除根号 4.1.6 分部积分法： 不同函数乘积 4.2 定积分 4.2.1 牛顿莱布尼茨公式 4.2.2 定积分的运算规则 4.3 应用一： 几何问题中的定积分应用 4.3.1 旋转体体积 4.3.2 曲线弧长 4.4 应用二： 物理问题中的定积分应用 4.4.1 变力做功问题 4.4.2 转动体的动能问题 4.5 拓展： 数值积分 4.6 结语 第5章 微分方程 5.1 微分方程的基本概念 5.2 一阶微分方程 5.2.1 分离变量法 5.2.2 线性方程公式法 5.3 二阶微分方程 5.3.1 可降阶的微分方程 5.3.2 线性齐次方程公式法 5.4 物理问题中的微分方程 5.4.1 导热问题 5.4.2 简谐运动 5.5 微分方程的数值方法 5.6 结语 第6章 空间向量与几何 6.1 向量 6.1.1 向量基础概念与运算 6.1.2 向量点乘 6.1.3 向量叉乘 6.2 空间平面 6.3 空间直线 6.4 空间曲面 6.4.1 球面 6.4.2 锥面 6.4.3 柱面 6.4.4 椭圆抛物面 6.4.5 双曲抛物面 第7章 多元函数与微分 7.1 多元函数基本概念 7.1.1 多元函数的定义域 7.1.2 多元函数的图像 7.1.3 多元函数的极限与连续性 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 方向导数与梯度 7.5 多元函数的极值问题 7.5.1 无条件极值问题 7.5.2 有条件极值问题 7.6 隐函数及导数 7.7 几何应用 7.8 结语 第8章 重积分 8.1 二重积分基础 8.1.1 二重积分的概念 8.1.2 二次积分与运算 8.2 二重积分的极坐标 8.3 重积分的应用 8.3.1 非均匀薄板的质量与质心 8.3.2 物体转动时的动能 8.4 结语 第9章 无穷级数 9.1 常数项级数 9.1.1 正项级数 9.1.2 交错级数 9.2 幂级数 9.2.1 收敛半径、收敛区间 9.2.2 泰勒级数 9.3 傅里叶级数 9.3.1 基本公式 9.3.2 三角函数的正交性 9.4 结语