新编微积分(理工类)（第二版）上册

教材分为《新编微积分（理工类）》上、下两册： 上册主要致力于解决微积分入门难的问题，以完成与中学数学学习的平稳衔接, 并在此基础上展开对一元函数微分和积分的概念、计算以及应用等微积分中最基础的内容研究. 上册内容包括函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分及其应用，微分方程与数学建模初步这六章内容. 本套教材是汕头大学的“规划教材”，省级优秀教学团队（广东省分析类课程教学改革团队）课程建设的研究成果. 21世纪以来，随着科技的迅猛发展，对科技人员提出了更高的要求. 党的二十大报告提出，人才是第一资源，创新是第一动力. 也就是把培养学生的创造精神并应用到实践作为今后的重要发展目标. 科技创新的根基在于基础研究，基础研究的根基在于数学. 现代数学是建立在微积分理论之上的分析数学，学好微积分（也称高等数学），对学生理性思维的培养，分析问题、解决问题能力的提高，都有深远的影响. 本书正是在这种形势下应运而生的.

林小苹 ---------------------------- 林小苹，副教授，研究方向为生态数学与数值分析. 发表国外学术期刊发表论文10余篇，主持、参与省级科研项目、省级教改项目多项；曾任广东省教学质量与教学改革工程评审专家、汕头大学教学委员会委员、数学系教学主任、大学数学教研组组长. 曾获得过多项奖励，包括李嘉诚基金会卓越教学奖（2018）、汕头大学教学成果奖（2021，2018、2008）、汕头大学本科优秀教学奖（2010）、汕头大学理学院教学优秀奖（2009）、汕大优秀教材一等奖（2001）等. 长期担任汕头大学理工科的数学基础课程高等数学的教学任务. 李健 ---------------------------- 李健，教授、博士生导师，研究领域包括拓扑动力系统、遍历理论、混沌理论等. 现主持国家自然科学基金优秀青年科学基金和面上项目，主持完成广东省杰出青年科学基金项目、国家自然科学基金面上项目等科研项目，在Adv. Math., J. Funct. Anal., Erg. Th. & Dyn. Sys., Israel J. Math., Fund. Math., 《中国科学:数学》等学术期刊接受或发表论文30余篇. 现任广东省工业与应用数学学会第七届理事会副理事长、汕头市数学会第八届理事会副理事长.

目 录 第一章 函数、极限与连续 第一节 一元函数 一、集合 / 二、函数的概念 / 三、函数的性质 / 四、复合函数与反函数 / 五、基本初等函数 / 六、初等函数 / 七、函数的参数表示和极坐标表示/ 思考题1.1 / 习题1.1 / 第二节 极限的概念 一、引言 / 二、数列的极限 / 三、函数的极限 / 思考题1.2 / 习题1.2 / 第三节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 / 二、无穷大量 / 三、无穷小量的性质 / 思考题1.3 / 习题1.3 / 第四节 极限的运算法则与性质 一、极限的运算法则 / 二、极限的性质 / 思考题1.4 / 习题1.4 / 第五节 两个重要极限 一、极限存在准则 / 二、两个重要极限 / *三、柯西收敛准则 / 思考题1.5 / 习题1.5 / 第六节 无穷小量的比较 一、问题的引入 / 二、无穷小量的比较 / 三、利用等价无穷小量求极限 / 思考题1.6 / 习题1.6 / 第七节 函数的连续性 一、函数的连续性与间断点 / 二、连续函数的运算性质 / 三、初等函数的连续性 / 四、闭区间上连续函数的性质 / *五、一致连续 / 思考题1.7 / 习题1.7 / 第八节 应用实例与思政案例 一、应用实例：连续计息问题 / 二、应用实例：神奇的科赫曲线 / 三、思政案例：斐波那契数列与数学之美 / 总习题一 第二章 导数与微分 第一节 导数的概念 一、两个经典问题 / 二、导数的定义 / 三、单侧导数 / 四、导数的几何意义 / 五、函数连续与可导的关系 / 思考题2.1 / 习题2.1 / 第二节 求导法则 一、导数的四则运算法则 / 二、反函数的求导法则 / 三、复合函数的求导法则 / 四、基本初等函数的求导公式 / 思考题2.2 / 习题2.2 / 第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念 / 二、几个初等函数的高阶导数 / 三、高阶导数的运算法则 / 思考题2.3 / 习题2.3 / 第四节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 / 二、对数求导法 / 三、参数方程所确定的函数的导数 / 思考题2.4 / 习题2.4 / 第五节 微分 一、概念的引出 / 二、微分的定义 / 三、微分与导数的关系 / 四、微分的几何意义 / 五、微分的基本公式和运算法则 / 六、微分在近似计算中的应用 / 思考题2.5 / 习题2.5 / 第六节 应用实例 一、应用实例：相关变化率 / 二、应用实例：飞机降落曲线问题 / 习题2.6 / 总习题二 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔中值定理 / 二、拉格朗日中值定理 / 三、微分中值定理的初步应用 / 思考题3.1 / 习题3.1 / 第二节 洛必达法则 一、直观描述 / 二、00型未定式 / 三、∞∞型未定式 / 四、其他类型的未定式 / 思考题3.2 / 习题3.2 / 第三节 函数几何性态的研究 一、函数单调性的判定 / 二、曲线的凹凸性与拐点 / 三、函数的极值 / 四、函数图形的描绘 / 五、曲率——曲线弯曲程度的定量描述 / 思考题3.3 / 习题3.3 / 第四节 最值问题 思考题3.4 / 习题3.4 / 第五节 应用实例与思政案例 一、应用实例：运输问题 / 二、应用实例：铁路轨道弯道设计问题 / 三、思政案例：曲率的应用——为什么我国高铁一定要走高架桥 / 总习题三 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 / 二、不定积分的基本公式 / 三、不定积分的性质 / 思考题4.1 / 习题4.1 / 第二节 不定积分的基本积分法 一、换元积分法 / 二、分部积分法 / 思考题4.2 / 习题4.2 / 第三节 几种特殊类型函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 / 二、三角函数有理式的不定积分 / 三、简单无理函数的不定积分 / *四、“积不出”的不定积分 / 思考题4.3 / 习题4.3 / 总习题四 第五章 定积分及其应用 第一节 定积分的概念与性质 一、两个经典问题 / 二、定积分的定义 / 三、定积分的几何意义 / 四、定积分的存在定理 / 五、定积分的性质 / 思考题5.1 / 习题5.1 / 第二节 微积分基本公式 一、积分上限的函数及其导数 / 二、牛顿莱布尼茨公式 / 思考题5.2 / 习题5.2 / 第三节 定积分的计算 一、定积分的换元积分法 / 二、定积分的分部积分法 / 思考题5.3 / 习题5.3 / 第四节 定积分在几何学上的应用 一、定积分应用的微元法 / 二、平面图形的面积 / 三、某些特殊立体的体积 / 四、平面曲线的弧长 / *五、旋转体的侧面积 / 思考题5.4 / 习题5.4 / 第五节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所做的功 / 二、液体的静压力 / *三、引力 / 思考题5.5 / 习题5.5 / 第六节 反常积分 一、无限区间上的反常积分 / 二、无界函数的反常积分 / *三、反常积分的审敛法 / *四、Γ函数 / 思考题5.6 / 习题5.6 / 第七节 应用实例与思政案例 一、应用实例:椭圆柱形油罐中油量的刻度问题 / 二、应用实例:卫星椭圆轨道周长的简便计算方法 / 三、思政案例：数学在航天科技中的应用 / 习题5.7 / 总习题五 第六章 微分方程与数学建模初步 第一节 微分方程的基本概念 一、引例 / 二、微分方程的几个概念 / 思考题6.1 / 习题6.1 / 第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 / 二、一阶线性微分方程 / 三、变量代换 / 思考题6.2 / 习题6.2 / 第三节 微分方程模型的建模简介 一、微分方程模型的建模步骤 / 二、微分方程模型在不同领域中的应用 / 习题6.3 / 第四节 可降阶的高阶微分方程 一、形如y (n)=f(x)的微分方程 / 二、形如y″=f(x，y′)的微分方程 / 三、形如y″=f(y，y′)的微分方程 / 思考题6.4 / 习题6.4 / 第五节 线性微分方程及其解的结构 一、线性微分方程 / 二、线性微分方程解的结构 / *三、常数变易法 / 思考题6.5 / 习题6.5 / 第六节 常系数线性微分方程的解法 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 / 二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 / 思考题6.6 / 习题6.6 / *第七节 特殊的二阶变系数线性微分方程——欧拉方程 习题6.7 / 第八节 应用实例与思政案例 一、应用实例：振动模型 / 二、应用实例：最速降线问题 / 三、思政案例：最速降线与变分法的诞生 / 习题6.8 / 总习题六 附录一常见的平面曲线 附录二积分表