考研数学你真的掌握了吗?-概率论与数理统计

本书基于作者多年教学 研究经验和考前辅导经验， 经过十年的准备，针对考研 数学学科各主要专题进行了 深入的梳理和讲解，力求体 现知识脉络的演变以及思维 高度的创新。 本书内容原创性强，不 拘泥于结论和形式，循循善 诱，部分例题在大学入门阶 段即可读懂。书中例题大部 分是历年考研真题，还配有 例题相关的变式题，是广大 考生课堂学习的有益补充， 也是大家提早备考的有效复 习资料。

张杨文，数学与应用数学博士学位，主要研究方向为偏微分方程的控制理论及其算法。 在计算数学顶尖期刊《SIAM Journal on Numerical Analysis》上发表论文7篇，其中作者还独立解决了数值线性代数领域中一个非常重要的公开问题，作者与卡内基梅隆的Walkington教授和加州伯克利的Weber教授合作, 提出了关于偏微分计算的全新算法，在保持同样精度的前提下，其计算效率是传统算法的几百倍甚至上千倍。在教学方面，作者曾经在成都新东方从事考研培训2年，并且一直从事高等数学、线性代数，概率统计、数值线性代数、数值分析和偏微分方程等课程的教授工作。

在第 2 章中, 我们学习了单一离散型和单一连续 型随机变量的概率模型. 然而, 在许多实际问题中, 需 要同时使用多个随机变量来描述随机现象. 例如, 在研究儿童生长的问题上, 仅研究儿童的身高或仅研究 其 体重都是片面的, 有必要将身高和体重作为一个整 体来考虑, 这就引出了多维随机变量的概念. 研究多维随机变量旨在揭示各变量之间的相互影响 , 这是分别研究多个一维随机变量时无法获得的. 那么, 如何研究多维随机变量的统计规律性呢? 仿 一维随机变量的研究方法, 我们先探讨多维随机变量的 联合分布函数. 3.1 多维随机变量及其联合分布 3.1.1 联合分布函数 【知识点 3.1】 对任意 n 个实数 x1, x2, · · · , xn, 事件 {X1 . x1} , {X2 . x2} , · · · , {Xn . xn} 同时发 生的概率 F (x1, x2, · · · , xn) = P (X1 . x1,X2 . x2, · · · ,Xn . xn) 称为 n 维随机变量 (X1,X2, · · · ,Xn) 的 联合分布函数. 图 3-1 在考研数学中, 涉及的多维随机变量通常是二维的 . 因此, 我们重点 介绍二维随机变量, 二维以上的情况可以类推. 对于二维随机变量 (X, Y ), 联合分布函数 F(x, y) = P(X . x, Y . y) 是事件 {X . x} 与 {Y . y} 同时发生的概率 . 如果将二维随机变量 (X, Y ) 看作平面上随机点的坐标, 那么联合分布 函数 F(x, y) 在点 (x, y) 处的函数值就是随机点 (X, Y ) 落在以 (x, y) 为顶点的左下无穷直角区域 (见图 3-1) 上的概率. 【例 3.1】 (2006·数一 22、数三 22) 设随机 变量 X 的概率密度为 fX(x) =8> >><> >>: 0.5, .1 < x < 0 0.25, 0 . x < 2 0, 其他 , 令 Y = X2, F(x, y) 为二维随机变量 (X, Y ) 的分 布函数, 求 F . 1 2 , 4. 【解析】 由联合分布函数的定义可知 F .

第1章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机事件的基本概念 1.1.2 事件之间的关系与运算 1.2 概率的定义及其性质 1.2.1 概率的减法公式 1.2.2 概率的加法公式 1.3 条件概率 1.3.1 条件概率的定义 1.3.2 乘法公式 1.4 全概率公式与贝叶斯公式 1.4.1 全概率公式 1.4.2 贝叶斯公式 1.5 独立性 1.5.1 两个事件之间的独立性 1.5.2 多个事件的相互独立性 第2章 一维随机变量及其分布 2.1 分布函数 2.1.1 随机变量的概念 2.1.2 分布函数 2.1.3 离散型随机变量的分布律 2.1.4 连续型随机变量的概率密度函数 2.2 期望与方差 2.2.1 期望 2.2.2 方差 2.3 常用分布 2.3.1 常见的离散型随机变量的分布 2.3.2 常见的连续型随机变量的分布 2.4 随机变量函数的分布 2.4.1 离散型随机变量函数的分布 2.4.2 连续型随机变量函数的分布 第3章 多维随机变量及其分布 3.1 多维随机变量及其联合分布 3.1.1 联合分布函数 3.1.2 联合分布律 3.1.3 联合密度函数 3.1.4 常见多维分布 3.2 边缘分布与随机变量的独立性 3.2.1 边缘分布函数 3.2.2 边缘分布律 3.2.3 边缘密度函数 3.2.4 条件分布. 3.2.5 随机变量之间的独立性 3.3 多维随机变量函数的分布 3.3.1 离散型随机变量函数的分布 3.3.2 连续型随机变量函数的分布 3.3.3 离散型随机变量与连续型随机变量函数的分布 3.3.4 最大值与最小值的分布 3.4 多维随机变量的期望与方差 3.4.1 期望与方差