应用泛函分析

本书是为工科类专业研 究生编写的泛函分析基础教 材，全书共分八章，内容包 括：实分析基础、距离空间 、Banach空间、Hilbert空 间、有界线性算子、共轭空 间与共轭算子、线性算子的 谱理论、线性算子半群及其 应用。本书注重介绍问题的 来源和背景，内容丰富，列 举了大量例题，叙述深入浅 出，特别强调泛函分析理论 和方法在控制论和微分方程 中的应用。 本书可作为工科类专业 研究生和应用数学专业本科 生的教学用书，也可作为数 学系学生学习泛函分析时的 参考书，并可供相关科学技 术人员学习参考。

楼旭阳，男，教授，博士生导师。从事自动化领域的教学与科研工作；主持完成国家及省部级项目4项；获省级科技进步三等奖1项、CAA自然科学奖二等奖1项；出版专著、教材2部；发表学术论文100余篇，其中被SCI检索80余篇；连续4年入选爱思唯尔中国高被引学者榜单(2016-2019），获江苏省333高层次人才。

符号说明 第1章 实分析基础 1.1 数列的收敛 1.2 函数列的收敛 1.3 可测集与可测函数 1.4 勒贝格积分 1.4.1 黎曼积分 1.4.2 勒贝格积分的定义 1.4.3 勒贝格积分的性质 1.5 Lp空间 习题1 第2章 距离空间 2.1 距离空间的基本概念 2.1.1 距离空间的定义 2.1.2 距离空间中的点集 2.1.3 距离空间中的收敛 2.1.4 距离空间中的连续映射 2.1.5 稠密性与可分性 2.2 距离空间的完备性 2.2.1 Cauchy列与完备性 2.2.2 距离空间的完备化 2.3 距离空间的列紧性与紧性 2.3.1 列紧集与紧集 2.3.2 列紧集的性质 2.3.3 紧集上的连续映射 2.4 压缩映射原理及其应用 2.4.1 不动点与压缩映射 2.4.2 压缩映射原理 2.4.3 压缩映射原理的应用 习题2 第3章 Banach空间 3.1 线性空间 3.1.1 线性空间的定义 3.1.2 线性算子 3.2 赋范线性空间 3.2.1 赋范线性空间的概念 3.2.2 由范数诱导的距离 3.2.3 依范数收敛 3.3 完备赋范线性空间 3.3.1 Banach空间的概念 3.3.2 Banach空间的性质 3.3.3 Riesz引理 3.4 有限维赋范线性空间 习题3 第4章 Hilbert空间 4.1 内积空间 4.1.1 内积空间的概念 4.1.2 内积导出的范数 4.1.3 范数成为内积的条件 4.1.4 完备内积空间 4.2 正交与正交系 4.2.1 正交性 4.2.2 正交系和标准正交系 4.2.3 Gram Schmidt正交化 4.3 Fourier级数和标准正交基 4.3.1 Fourier级数和Bessel不等式 4.3.2 标准正交基 4.3.3 Hilbert空间的同构 4.4 最佳逼近和正交分解定理 4.4.1 最佳逼近 4.4.2 正交分解定理 4.4.3 正交投影算子 4.5 正交分解定理的应用 4.5.1 最优控制 4.5.2 函数逼近问题 4.5.3 最小二乘法 习题4 第5章 有界线性算子理论 5.1 线性算子 5.1.1 有界线性算子 5.1.2 连续算子 5.2 算子空间 5.2.1 算子范数和算子空间 5.2.2 算子列的收敛性 5.2.3 算子空间的完备性 5.3 一致有界定理 5.3.1 一致有界定理与共鸣定理 5.3.2 一致有界定理的应用 5.4 逆算子与逆算子定理 5.4.1 逆算子 5.4.2 逆算子定理 5.4.3 逆算子定理的应用 5.5 闭算子与闭图像定理 5.5.1 闭算子 5.5.2 闭图像定理 5.6 Hahn Banach延拓定理 习题5 第6章 共轭空间与共轭算子 6.1 共轭空间与Riesz表示定理 6.2 自反空间 6.3 共轭算子 6.4 强收敛与弱收敛 6.4.1 点列的强收敛与弱收敛 6.4.2 算子列的强收敛与弱收敛 6.4.3 泛函列的弱收敛与弱*收敛 6.5 Riesz表示定理的应用 习题6 第7章 线性算子的谱理论 7.1 谱集和正则集 7.2 有界线性算子的谱理论 7.3 自伴算子的谱理论 7.4 紧算子的谱理论 7.4.1 紧算子的定义 7.4.2 紧算子的性质 7.4.3 紧算子的谱和Fredholm抉择定理 习题7 第8章 线性算子半群及其应用 8.1 抽象Cauchy问题初探 8.2 强连续算子半群 8.2.1 $C_0$半群的定义和性质 8.2.2 $C_0$半群的生成定理 8.2.3 耗散算子与压缩半群 8.3 线性发展方程的解 8.4 线性算子半群的应用 8.4.1 热传导问题 8.4.2 弦振动问题 8.4.3 人口方程 8.4.4 Euler Bernoulli梁方程 8.4.5 柔性吊车系统 习题8 参考文献