数学在19世纪的发展(第2卷)(精)/数学翻译丛书

《数学在19世纪的发展(第2卷)》是F. 克莱因的名著《数学在19世纪 的发展》的第二卷。与第一卷有所不同，它是专门讲述不变量理论以及相 对论的数学源头，即相对论的数学史前史的，其中也包括了克莱因本人的 一些研究成果。从数学上来讲，狭义相对论可以说就是在Lorentz变换群下 的不变量理论，而广义相对论则可说是在一般点变换群下的不变量理论。 在这个意义上，相对论与克莱因的《Erlangen纲领》在思想上是一脉相承 的。相对论与19世纪数学在思想上与历史上的联系第一次在本书中得到了 详细的论述。 《数学在19世纪的发展(第2卷)》不再是按时间发展的顺序讲述，而是 将不变量理论及其在物理学中的应用归拢到一起做系统的讲述。时至今日 ，它仍是学习不变量理论及其应用的一本极好的教材，对学习数学和物理 的学生和教师都有极高的参考价值，也适合对数学及科学思想文化发展感 兴趣的读者阅读。

F．克莱因(F．Klein，1849—1925)19世纪后半叶至20世纪初最重要的数学家之一。他的贡献最为人所知的可能是关于几何学的埃尔朗根纲领，但是实际上远不止此，而是贯穿了几何、代数、复分析、群论和数学物理等多个方面。他一直主张纯粹数学与应用数学的统一，数学与物理、力学的统一，在数学内部则主张各个分支的统一。他认为自己最大的贡献正是在复分析、代数与几何的统一上所做出的努力。在方法论上，他的主张逻辑思维与几何直觉的统一也是非常突出的。在他的后半生，因为健康关系不能再继续独创性的科研工作。

《数学翻译丛书》序 编者前言 引言 第一章 线性不变量理论的基本概念初步 A 一般线性不变量理论概述 1 线性代换．不变量的概念 2 Graβmann层量 3 关于我们的量丛(特别是Graβmann层量)的几何意义 4 二次型及其不变量 5 关于二次型的等价 6 由一个二次型确定仿射度量 7 关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型 B 线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充 1 关于Erlangen纲领 2 对三维空间的特殊考察 3 四元数插话 4 过渡到向量代数和张量代数的基本概念 5 向量分析(张量分析)的引入 6 向量学中的不变量理论表述 7 关于在Maxwell的Treatise(通论)之后向量学在各国的发展 第一章注释 第二章 力学与数学物理中的狭义相对论 A 经典天体力学与galilei-newton群的相对论 1 从n体问题的微分方程看群的定义和意义 2 关于经典力学n体问题的10个通积分 B Maxwell电动力学和Lorentz群的相对论 Ⅰ 导论 1 自由以太的Maxwell方程组 2 正交形式下的Lorentz群 3 返回到x，y，z，t 4 谈电学和原子的概念在Maxwell的通论发表(1873)后的发展 5 关于20世纪以前对Maxwell理论的数学处理 6 关于Lorentz群的发展过程 7 关于新学说的进一步的传播．1911年及1909年以后的发展 Ⅱ 在正交形式下Lorentz群的处理 1 相应四维分析纲要 2 再谈四元数 3 关于用积分关系式来代替Maxwell方程组 4 四维势以及与之相关的变分定理 5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例 6 Lorentz群的相对论 Ⅲ 回归Lorentz群的实数关系 1 导论 2 几何的辅助概念 3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像 4 关于偏微分方程□的求积简史 5 初等光学，特别是几何光学，作为Maxwell方程组的第一级近似 C 关于力学与Lorentz群的相对论的相适应 1 从Lorentz群向Galilei-Newton群的极限过渡 2 单个质点的动力学 3 谈刚体的理论 结束语 第二章注释 第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群 A 经典力学的一般Lagrange方程 引言 1 Lagrange方程及其G∞群的引入 2 Lagrange方程的G∞群和Galilei-Newton群.Copernicus坐标系和Ptolemy坐标系 3 简化变分原理，过渡到几何 B 建立在Gauβ的《Disquisitiones circa superficies curvas(曲面理论的一般研究)》的基础之上的二维流形的内蕴几何学 1 概述 2 关于测地线的微分方程 3 在不变量理论框架中gaub曲面论中几个最简单的定理和概念 4 谈gauβ全曲率概念的引入 5 关于在任意给定的ds2下全曲率k的解析表示 6 Riemann公式的证明以及几种相应的计算 7 关于两个二元ds2之间的等价．全曲率为常量时的详情 C n维Riemann流形 Ⅰ．形式基础 1 历史简述 2 只有一阶微分的微分形式 3 关于Riemann全曲率的开场白 4 测地线方程以及与之相关的不变量 5 Riemann的[ω] 6 Riemann全曲率的计算公式 D n维Riemann流形 Ⅱ．正规坐标．几何意义 1 Riemann正规坐标及其所属的ds2的结构 2 限制到o的最近的邻域．KR的一般几何意义 3 位置不变量k的几何意义 4 最简单的方向不变量的几何意义．过渡到平均曲率K(n-1) 5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题 E Riemann之后的若干进一步发展 1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响 2 Beltrami的构造不变量的方法 3 Lipschitz与Christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量 4 谈Christoffel在1869年的论文 5 用无限小变换表征不变量(Lie) 6 关于一任意张量tik的向量散度 结束语 第三章注释 附录Ⅰ Dr. Felix Klein：对新近以来几何学研究的比较考察 附录Ⅱ Bernhard Riemann：单复变量函数一般理论基础 附录Ⅲ Bernhard Riemann：论奠定几何学基础之假设 附录Ⅳ Bernhard Riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述 人名索引 专业名词索引 译后记