数学物理方程(第2版高等学校教材)

《数学物理方程(第2版)》是作者谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、 谭永基在1979年第一版的基础上，根据多年来的教学实践修订而成的。《数 学物理方程(第2版)》大体保持了第一版中取材的范围、结构和深度。同时 ，在修订中更加突出了三类典型的二阶线性偏微分方程的基本内容；在讲解 基本理论与求解方法的同时注意突出处理问题的思想方法；为开阔读者的视 野，也适当介绍了偏微分方程的广义解与数值解，但比第一版精简了篇幅。 全书共7章，其中1～3章为三类典型方程；4～7章分别为二阶线性偏微分方 程的分类和总结、一阶双曲型偏微分方程组、广义解与广义函数解、偏微分 方程的数值方法。 《数学物理方程(第2版)》可作为数学专业和应用数学专业本科的教材 。

引言 第一章 波动方程 1 方程的导出、定解条件 1.弦振动方程的导出(1) 2.定解条件(4) 3.定解问题适定性概念(6) 习题(6) 2 达朗贝尔(d'alembert)公式、波的传播 1.叠加原理(7) 2.弦振动方程的达朗贝尔解法(8) 3.传播波(10) 4.依赖区间、决定区域和影响区域(10) 5.齐次化原理(12) 习题(14) 3 初边值问题的分离变量法 1.分离变量法(16) 2.解的物理意义(19) 3.非齐次方程的情形(20) 4.非齐次边界条件的情形(21) 习题(22) 4 高维波动方程的柯西问题 1.膜振动方程的导出(23) 2.定解条件的提法(26) 3.球平均法(27) 4.降维法(30) 5.非齐次波动方程柯西问题的解(31) 习题(33) 5 波的传播与衰减 1.依赖区域、决定区域和影响区域(33) 2.惠更斯(huygens)原理、波的弥散(35) 3.波动方程解的衰减(36) 习题(37) 6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 1.振动的动能和位能(37) 2.初边值问题解的唯一性与稳定性(38) 3.柯西问题解的唯一性与稳定性(41) 习题(44) 第二章 热传导方程 1 热传导方程及其定解问题的导出 1.热传导方程的导出(45) 2.定解问题的提法(46) 3.扩散方程(48) 习题(48) 2 初边值问题的分离变量法 1.一个空间变量的情形(49) 2.圆形区域上的热传导问题(52) 习题(53) 3 柯西问题 1.傅里叶变换及其基本性质(54) 2.热传导方程柯西问题的求解(56) 3.解的存在性(58) 习题(59) 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 1.极值原理(60) 2.初边值问题解的唯一性和稳定性(61) 3.柯西问题解的唯一性和稳定性(64) 习题(65) 5 解的渐近性态 1.初边值问题解的渐近性态(65) 2.柯西问题解的渐近性态(66) 习题(67) 第三章 调和方程 1 建立方程、定解条件 1.方程的导出(68) 2.定解条件和定解问题(69) 3.变分原理(71) 习题(73) 2 格林公式及其应用 1.格林(green)公式(74) 2.平均值定理(77) 3.极值原理(77) 4.第一边值问题解的唯一性及稳定性(78) 习题(79) 3 格林函数 1.格林函数及其性质(80) 2.静电源像法(82) 3.解的验证(85) 4.单连通区域的格林函数(86) 5.调和函数的基本性质(87) 习题(91) 4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 1.强极值原理(91) 2.第二边值问题解的唯一性(93) 3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性(94) 习题(95) 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 1 二阶线性方程的分类 1.两个自变量的方程(96) 2.两个自变量的二阶线性方程的化简(96) 3.方程的分类(99) 4.例(100) 5.多个自变量的方程的分类(101) 习题(102) 2 二阶线性方程的特征理论 1.特征概念(103) 2.特征方程(104) 3.例(106) 习题(107) 3 三类方程的比较 1.线性方程的叠加原理(108) 2.解的性质的比较(109) 3.定解问题提法的比较(112) 习题(115) 4 先验估计 1.椭圆型方程解的最大模估计(116) 2.热传导方程解的最大模估计(116) 3.双曲型方程解的能量估计(117) 4.抛物型方程解的能量估计(120) 5.椭圆型方程解的能量估计(121) 习题(123) 第五章 一阶偏微分方程组 1 引言 1.一阶偏微分方程组的例子(124) 2.一阶方程组与高阶方程的关系(126) 习题(127) 2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 1.特征方程、特征线(128) 2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类(129) 3.将严格双曲型方程组化为对角型(130) 习题(132) 3 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 1.化为积分方程组(133) 2.柯西问题解的存在性与唯一性(134) 3.对初始条件的连续依赖性(137) 4.依赖区间、决定区域和影响区域(137) 5.关于柯西问题提法正确性的附注(138) 习题(139) 4 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 1.广义柯西问题(140) 2.古尔沙(goursat)问题(140) 3.一般角状区域上的边值问题(141) 习题(142) 5 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅(cauchy-kobajiebcka)定理 1.幂级数解法(143) 2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理(144) 习题(148) 第六章 广义解与广义函数解 1 广义解 1.研究广义解的必要性(149) 2.强解(149) 3.弱解(151) 习题(152) 2 广义函数的概念 1.广义函数的物理背景(152) 2.广义函数的数学概念(153) 3.基本函数空间(154) 4.'(rn)，'(rn)，'(rn)广义函数(156) 习题(157) 3 广义函数的性质与运算 1.广义函数的极限(158) 2.广义函数的导数(159) 3.广义函数的乘子(159) 4.广义函数的卷积(160) 习题(161) 4 广义函数的傅里叶变换 1.(rn)上的傅里叶变换(162) 2.'(rn)上的傅里叶变换(163) 习题(165) 5 基本解 1. 柯西问题的基本解(165) 2.调和方程的基本解(168) 3.其他类型的基本解(169) 习题(170) 第七章 偏微分方程的数值解 1 调和方程狄利克雷问题的数值解 1.有限差分法(171) 2.元体平衡法(173) 3.有限元素法(里茨(ritz)法)(176) 4.有限元素法(伽辽金(ajiepkhh)法)(178) 习题(180) 2 热传导方程的差分法 1.一维热传导方程的显式差分格式(180) 2.差分格式的收敛性和稳定性(182) 3.隐式格式及其稳定性(184) 习题(185) 3 波动方程的差分法 1.波动方程初边值问题的差分格式(185) 2.c-f-l条件(courant-friedrichs-lewy条件)(186) 习题(188) 附录I 傅里叶级数系数的估计 附录II 张紧薄膜的张力为常值的证明 附录III 特殊函数