数学的逻辑：高中数学原来可以这样学

本书坚持实用性第一的原则，以通俗易懂的生活经验作为切入点，详细、准确、全面地讲解高中数学的基本原理、逻辑思路和分析方法，充分体现“数形结合”的思想，帮助读者建立扎实的数学基础。 本书涵盖对应现行高中数学的所有模块，并以更加连贯的顺序编排。本书详细介绍各数学分支的基本原理、核心概念、逻辑脉络、体系框架、注意要点和应用举例。本书分为20章，主要包括集合与逻辑命题、等式与不等式、函数的概念和性质、对数和指数、三角函数、平面解析几何、立体几何、概率与统计等。 本书内容通俗易懂、原理透彻、逻辑清晰、结构完整，特别适合在读高中生、想要预习高中数学知识的初中生，以及备考公务员考试、GRE考试等涉及初等数学知识考试的考生使用。

曾仁沁，本科毕业于清华大学基础科学班，研究生毕业于巴黎综合理工大学并获全额奖学金，在国际期刊发表学术论文2篇和发明专利1篇。用网名rqcen在互联网平台“知乎”分享知识干货和学习经验，并提供个人编写的优质学习资料供免费下载使用。

第1章 集合与命题 1.1 集合：划定一个范围 1.1.1 元素与集合 1.1.2 集合的基本性质 1.1.3 集合的表示 1.1.4 实数区间的表示 1.1.5 集合间的基本关系 1.1.6 韦恩图 1.1.7 集合的基本运算 1.1.8 集合中元素的个数 1.2 命题：作出判断的语句 1.2.1 命题：若……，则…… 1.2.2 真命题和假命题 1.2.3 非命题、否命题、逆命题、逆否命题 1.2.4 充分条件和必要条件 1.2.5 全称量词和存在量词 第2章 等式和不等式 2.1 等式和不等式 2.1.1 相等和不等 2.1.2 等式的基本性质 2.1.3 不等式的基本性质 2.2 解不等式 2.2.1 一元一次不等式 2.2.2 一元二次不等式 2.2.3 分式不等式 2.2.4 绝对值不等式 2.3 基本不等式 2.3.1 基本不等式 2.3.2 基本不等式的应用 第3章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 3.1.2 函数的表示 3.1.3 复合函数 3.2 函数的基本性质 3.2.1 函数的单调性 3.2.2 函数的最大值和最小值 3.2.3 偶函数和奇函数 3.2.4 函数的周期性 3.2.5 函数的连续性 3.2.6 函数的反函数 第4章 指数和对数 4.1 指数运算和对数运算 4.1.1 指数运算的法则 4.1.2 指数运算的基本性质 4.1.3 指数运算的拓展 4.1.4 0和1 4.1.5 对数运算的法则 4.1.6 对数运算的基本性质 4.2 幂函数、指数函数、对数函数 4.2.1 幂函数的定义 4.2.2 幂函数的基本性质 4.2.3 指数函数的定义 4.2.4 指数函数的基本性质 4.2.5 对数函数的定义 4.2.6 对数函数的基本性质 第5章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 5.1.2 弧度制 5.2 三角函数的定义与性质 5.2.1 三角函数的定义 5.2.2 三角函数的图像 5.2.3 诱导公式 5.2.4 三角函数的基本性质 5.2.5 其他三角函数 5.3 三角恒等变换 5.3.1 两角差的余弦公式 5.3.2 和角公式和差角公式 5.3.3 倍角公式 5.3.4 其他三角恒等变换 5.4 函数的平移伸缩变换 5.4.1 把简单的正弦函数变得复杂 5.4.2 正弦函数的通用性质 5.4.3 函数的平移变换和伸缩变换 5.4.4 平移和伸缩的顺序 第6章 平面向量 6.1 平面向量及其表示 6.1.1 平面向量及其几何表示 6.1.2 相等向量与共线向量 6.2 平面向量的基本运算 6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算 6.2.3 向量的数乘运算 6.2.4 向量的数量积 6.2.5 向量的数量积的基本性质 6.3 平面向量的坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及其坐标表示 6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 6.4 平面向量的应用 6.4.1 证明平行、垂直关系 6.4.2 线段的定比分点公式 6.4.3 余弦定理 6.4.4 正弦定理 第7章 复数 7.1 虚数与复数 7.1.1 虚数 7.1.2 复数 7.1.3 复数的几何意义 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算 7.2.2 复数的乘、除运算 7.2.3 复数乘、除运算的几何意义 第8章 直线的方程 8.1 直线的斜率与截距 8.1.1 直线的倾斜角 8.1.2 直线的截距 8.1.3 直线的方向向量 8.1.4 直线的平行和垂直 8.2 直线的方程 8.2.1 直线的点斜式方程 8.2.2 直线的两点式方程 8.2.3 直线的一般式方程 8.3 直线方程的应用 8.3.1 两条直线的交点坐标 8.3.2 两条直线的夹角 8.3.3 点到直线的距离公式 8.3.4 平行直线间的距离公式 第9章 圆的方程 9.1 圆的方程 9.1.1 圆的标准方程 9.1.2 圆的一般方程 9.1.3 圆的三角形式 9.2 直线与圆的位置关系 9.2.1 直线与圆相交 9.2.2 直线与圆相离 9.2.3 直线与圆相切 9.3 圆与圆的位置关系 9.3.1 两圆外离 9.3.2 两圆外切 9.3.3 两圆内切 9.3.4 两圆相交 9.3.5 小圆包含于大圆 第10章 圆锥曲线方程 10.1 椭圆 10.1.1 椭圆的定义 10.1.2 椭圆的标准方程 10.1.3 椭圆的基本性质 10.2 双曲线 10.2.1 双曲线的定义 10.2.2 双曲线的标准方程 10.2.3 双曲线的基本性质 10.3 抛物线 10.3.1 抛物线的定义 10.3.2 抛物线的标准方程 10.3.3 抛物线的基本性质 10.4 圆锥曲线的第二定义 10.4.1 椭圆的第二定义 10.4.2 双曲线的第二定义 10.4.3 椭圆和双曲线的斜率定义 第11章 数列 11.1 数列 11.1.1 数列的概念及其表示 11.1.2 数列的基本性质 11.1.3 等差数列 11.1.4 等比数列 11.1.5 数列的极限 11.1.6 求和运算 11.2 一些有趣的数列 11.2.1 正整数的平方和 11.2.2 二阶等差数列 11.2.3 二阶等比数列 11.2.4 斐波那契数列 第12章 函数的导数 12.1 函数的变化率和导数 12.1.1 函数的变化率 12.1.2 函数的导数 12.1.3 导数的几何意义 12.1.4 函数的导函数 12.2 基本初等函数的导函数 12.2.1 常数函数的导函数 12.2.2 幂函数的导函数 12.2.3 指数函数的导函数 12.2.4 对数函数的导函数 12.2.5 三角函数的导函数 12.3 导函数的四则运算和复合 12.3.1 函数与常数相加的导数 12.3.2 函数与常数相乘的导数 12.3.3 函数相加减的导数 12.3.4 函数相乘的导数 12.3.5 函数相除的导数 12.3.6 复合函数的导数 12.4 导数的应用 12.4.1 用导数研究函数的单调性 12.4.2 求函数的最值和极值 12.4.3 二阶导数 第13章 空间中的直线与平面 13.1 立体几何的基本公理 13.1.1 立体几何的基本公理 13.1.2 立体几何的几条推论 13.2 点、直线、平面的位置关系 13.2.1 点与直线、平面的位置关系 13.2.2 直线与直线的位置关系 13.2.3 直线与平面的位置关系 13.2.4 平面与平面的位置关系 13.3 空间直线与平面的平行 13.3.1 直线与直线平行 13.3.2 直线与平面平行 13.3.3 平面与平面平行 13.4 空间直线与平面的夹角和距离 13.4.1 异面直线间的夹角 13.4.2 异面直线间的距离 13.4.3 直线与平面垂直 13.4.4 平行的直线、平面间的距离 13.4.5 直线与平面的夹角 13.4.6 平面与平面的夹角 13.5 直线与平面的平移和旋转 13.5.1 直线平移或旋转形成平面 13.5.2 直线与直线的位置变换 13.5.3 直线与平面的位置变换 13.5.4 平面与平面的位置变换 第14章 简单几何体 14.1 绘制立体图形 14.2 简单多面体 14.2.1 棱柱 14.2.2 棱柱的表面积和体积 14.2.3 棱锥 14.2.4 棱锥的表面积和体积 14.2.5 棱台 14.2.6 棱台的表面积和体积 14.3 简单旋转体 14.3.1 圆柱 14.3.2 圆柱的表面积和体积 14.3.3 圆锥 14.3.4 圆锥的表面积和体积 14.3.5 圆台 14.3.6 圆台的表面积和体积 14.3.7 球 14.3.8 球的表面积和体积 14.4 简单几何体中的平行与垂直 14.4.1 棱柱中的平行与垂直 14.4.2 棱锥和棱台中的平行与垂直 14.4.3 圆柱中的平行与垂直 14.4.4 圆锥中的垂直与夹角 14.4.5 圆台中的平行、垂直与夹角 14.4.6 球中的平行与垂直 第15章 空间向量 15.1 空间向量及其运算 15.1.1 空间向量及其几何表示 15.1.2 空间向量的线性运算 15.1.3 空间中的方向向量和共面向量 15.1.4 空间向量的夹角和数量积 15.2 空间向量及其运算的坐标表示 15.2.1 空间向量基本定理 15.2.2 空间直角坐标系 15.2.3 空间向量运算的坐标表示 15.2.4 空间中的距离和夹角的坐标表示 15.3 空间向量与平行和垂直关系 15.3.1 空间中点的向量表示 15.3.2 空间中直线的向量表示 15.3.3 空间中平面的向量表示 15.3.4 平面的法向量 15.3.5 空间中直线、平面的平行 15.3.6 空间中直线、平面的垂直 15.4 空间向量与距离和夹角 15.4.1 空间中点到直线的距离 15.4.2 空间中点到平面的距离 15.4.3 空间中直线间的夹角 15.4.4 空间中直线与平面的夹角 15.4.5 二面角的平面角 第16章 计数原理 16.1 加法原理和乘法原理 16.1.1 加法原理：分类 16.1.2 乘法原理：分步 16.2 排列数和组合数 16.2.1 排列与排列数公式 16.2.2 阶乘 16.2.3 排列数的基本性质 16.2.4 组合与组合数公式 16.2.5 组合数的基本性质 16.3 二项式定理 16.3.1 二项式定理 16.3.2 二项式的基本性质 16.3.3 三项式的展开 第17章 概率 17.1 随机事件 17.1.1 随机事件 17.1.2 用集合描述随机事件 17.2 事件的关系和运算 17.2.1 事件间的包含关系 17.2.2 事件间的并事件 17.2.3 事件间的交事件 17.2.4 互斥事件 17.2.5 对立事件 17.3 随机事件的概率 17.3.1 古典概率模型 17.3.2 概率的基本性质 17.3.3 几何概率模型 17.4 条件概率 17.4.1 条件概率 17.4.2 条件概率的性质 17.4.3 事件间的相互独立 17.4.4 全概率公式 17.4.5 贝叶斯公式 第18章 统计 18.1 统计数据的获取 18.1.1 全面调查 18.1.2 抽样调查 18.2 数据的整理和分析 18.2.1 用样本估计整体 18.2.2 统计数据的整理 18.2.3 总体百分位数的估计 18.2.4 数据的集中趋势 18.2.5 数据的离散程度 18.2.6 数据的整体变换 第19章 随机变量及其分布 19.1 离散型随机变量及其分布列 19.1.1 离散型随机变量 19.1.2 离散型随机变量的分布列 19.1.3 频率的稳定性 19.2 离散型随机变量的数字特征 19.2.1 离散型随机变量的均值 19.2.2 离散型随机变量的方差 19.2.3 离散型随机变量的赋值的整体变换 19.3 二项分布和超几何分布 19.3.1 二项分布 19.3.2 超几何分布 19.4 正态分布 19.4.1 正态分布 19.4.2 正态密度函数 19.4.3 正态密度函数的图像 19.4.4 正态密度函数的性质 19.4.5 正态密度函数的标准化 19.4.6 正态密度函数的应用 第20章 成对数据的统计分析 20.1 线性相关 20.1.1 变量的相关关系 20.1.2 散点图与相关关系 20.1.3 样本相关系数与相关关系 20.1.4 样本相关系数的几何含义 20.1.5 线性相关性分析举例 20.2 线性拟合 20.2.1 一元线性回归模型 20.2.2 确定一元线性回归模型的参数 20.2.3 求一元线性回归模型举例 20.3 独立性检验 20.3.1 分类变量与列联表 20.3.2 事件独立的零假设 20.3.3 独立性检验 20.3.4 卡方检验