泛函分析讲义 （第二版）（下）

本书是两册泛函分析教材中的下册，作为数学专业研究生公共基础课教材，与本书上册共同构成完整的泛函分析教学体系。本书延续了上册的编写理念，注重理论来源与背景的阐述，深入探讨泛函分析与数学物理、偏微分方程及随机过程等领域的密切联系。全书共分四章：Banach代数、无界算子、算子半群、无穷维空间上的测度论。本书的主要特点是侧重于分析若干基本概念和重要理论的来源和背景，强调培养读者运用泛函方法解决问题的能力，注意介绍泛函分析理论与数学其他分支的联系。书中包含丰富的例子与应用，对于掌握基础理论有很大帮助。 本次修订与时俱进，对内容进行了优化：重新表述了定理5.5.12及其证明，提升逻辑严谨性；补充了韦东奕提出的基于算子预解界的半群估计新成果，为流动稳定性等问题提供新工具；并对全书进行了细致校勘，进一步提升准确性与可读性。 本书适合数学专业研究生使用，也可供从事分析学、数学物理及相关领域研究的学者参考。对于希望深入理解泛函分析思想并掌握其应用方法的读者，本书提供了系统的理论框架和丰富的实践案例。

张恭庆 ---------------------------- 张恭庆，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1959年毕业于北京大学数学力学系。1991年当选为中国科学院数学物理学部院士，1994年当选为第三世界科学院院士。 郭懋正 ---------------------------- 郭懋正，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。主要从事泛函分析、算子代数和非交换几何等领域的研究。在国内外学术期刊上发表多篇高水平论文，并参与多项科研项目。已出版教材3本。

第五章Banach 代数 x1 代数准备知识 x2 Banach 代数 2.1 Banach 代数的定义 2.2 Banach 代数的极大理想与Gelfand 表示 x3 例与应用 x4 C¤ 代数 x5 Hilbert 空间上的正常算子 5.1 Hilbert 空间上正常算子的连续算符演算 5.2 正常算子的谱族与谱分解定理 5.3 正常算子的谱集 x6 在奇异积分算子中的应用 第六章无界算子 x1 闭算子 x2 Cayley 变换与自伴算子的谱分解 2.1 Cayley 变换 2.2 自伴算子的谱分解 x3 无界正常算子的谱分解 3.1 Borel 可测函数的算子表示 3.2 无界正常算子的谱分解 x4 自伴扩张 4.1 闭对称算子的亏指数与自伴扩张 4.2 自伴扩张的判定准则 x5 自伴算子的扰动 5.1 稠定算子的扰动 5.2 自伴算子的扰动￠ 5.3 自伴算子的谱集在扰动下的变化 x6 无界算子序列的收敛性 6.1 预解算子意义下的收敛性 6.2 图意义下的收敛性 第七章算子半群 x1 无穷小生成元 1.1 无穷小生成元的定义和性质 1.2 Hille-Yosida 定理 x2 无穷小生成元的例子 x3 单参数酉群和Stone 定理 3.1 单参数酉群的表示|| Stone 定理 3.2 Stone 定理的应用 3.3 Trotter 乘积公式 x4 Markov 过程 4.1 Markov 转移函数 4.2 扩散过程转移函数 x5 散射理论 5.1 波算子 5.2 广义波算子 x6 发展方程 第八章无穷维空间上的测度论 x1 C[0; T] 空间上的Wiener 测度 1.1 C[0; T] 空间上Wiener 测度和Wiener 积分 1.2 Donsker 泛函和Donsker-Lions 定理 1.3 Feynman-Kac 公式 x2 Hilbert 空间上的测度 2.1 Hilbert-Schmidt 算子和迹算子 2.2 Hilbert 空间上的测度 2.3 Hilbert 空间的特征泛函 x3 Hilbert 空间上的Gauss 测度 3.1 Gauss 测度的特征泛函 3.2 Hilbert 空间上非退化Gauss 测度的等价性 索引