牛津通识读本：代数

代数标志着现代数学的开端，它使数学运算从基本的算术问题（以给定数字为特征的计算）发展到解决某些未知量的问题。作为数学的支柱，代数支撑着社会科学和物理学的定量研究。本书从初步代数开始，在十个逻辑异常紧凑的章节中，希金斯给热衷于代数学习的读者提供了一种循序渐进的方法，并运用理论和示例更新了读者对学校所讲授代数的认知，然后带着他们逐步深入这个主题。希金斯不仅清晰地解释了代数的基本知识，强调了方程和不等式的重要性，还为普通读者提供了一个理解代数的有用途径，这些对于高中生及大学生的数学学习无疑大有裨益。

彼得？M. 希金斯 英国埃塞克斯大学数学系前主任、纯数学教授，其发明的圆盘数独游戏经常出现在报纸、杂志和电脑游戏中，著有《数字》《给好奇者的数学》《激发想象力的数学》，以及曾获2012年皮亚诺数学图书奖的《网、拼图和邮差》等数学相关主题的图书，其中部分著作被翻译成意大利语、西班牙语、日语、韩语等多种语言。

第一章 数与代数 代数的背景故事 在我们的学生时代，黑板上出现的x与y，代表着这样一个始点，于此数学跨越了算术的范畴，而通过获取一种自有语言进入了更高的领域。迈进了代数的大门，数学这门学科由此发展出令人惊讶的力量，给我们展现了以其他任何方式都无法发现的内容。现代科学以数学为基础，而数学便是通过对代表着被关注量的符号进行代数运算而运作的。确切的物理关系通过代数这样一种工具被揭示出来，包括最著名的质能方程E = mc2，以及许多其他方程。就像爱因斯坦的狭义相对论中出现的这则等式一样，方程式都是以实验为基础的物理模型的结果。尽管如此，这种关系本身就是通过代数来表达的。代数赋予如下重要的结论以威力，即能量与质量是一回事儿；而这就是位于底层的代数无可置疑的正确性。代数构成了所有现代系统化研究的基础。尽管这些研究的成果可以被融合进科学软件之中，但若没有代数，进步是不可能的。 “algebra”（代数）一词源于阿拉伯语词汇“al-gebr”，意思是“折断部分的复位”。11世纪时，或许正是伊斯兰世界代表着数学领域最复杂巧妙的文明。不过，那时还没有见于现代文本中那种类型的代数运算；中世纪的数学写作是修辞式的，一切都用言语描述，这种风格遍及马可 · 波罗所处的世界。我们也许能辨别出的一种代数，直到17世纪才出现。纸张的稀缺可能阻碍了数学符号体系的自然发展；不过也应该意识到，古代学者面对着诸多遮蔽了算术之根本数学面貌的障碍。我们在执行代数运算时会引入任意符号，最常见的是x和y，用来表示确定而未知的数，并根据算术法则对这些符号进行处理。无论数x与y可能是什么，支撑我们所做的一切的理由是，在我们运算中出现的关系是真实的，因为它们是我们初始假设及适用于所有数的法则的结果，与其特定的数值无关。用代数符号来表示未知量是一种便利的缩简；诚然简洁肯定有助于推理，但代数真正的力量源于符号赋予阐释的普适性，这使得它们能以一种强有力的方式被运用，而这种方式是词汇无法单独胜任的。 为了认识到代数的潜力，我们要能以无限制的方式移动我们的符号，即自如地利用算术运算，特别是成对的基本运算：加法与减法、乘法与除法。为此，我们需要一套适用的计数系统。比如，我们如果认为负值毫无意义而加以拒绝，或者进一步从根本上不把零看作一个数，便会受到妨碍而自我否定代数所赋予的探索未知量的世界的自由。我们认为代数世界的存在是当然的。不要说在其被恰当地理解及得以发展之前，甚至在其开始被窥视之前，就有大量的困惑需要清除。过去的智者会震惊于现代的某位学生能够轻松地用代数来彻底地解决问题；而在他们看来这些问题是不可能的，甚至可能是难以清晰描述的。比如，学校中的代数便足以证明整数的平方根如 或 ，要么是另一个整数，要么根本不是分数。古希腊学者为这个问题付出了巨大的努力，并且运用他们所掌握的几何方法来证明大到 的一些特定平方根不是分数。然而，这个平常的问题难倒了他们。不过，这个问题和其他许多超越古人所及范围的问题，完全可以为牛津大学出版社通识读本系列的读者所理解，正如你即将读到的那样。 计数系统 为了驾驭代数的力量，我们需要一套满足其需求的计数系统。部分要求是，自由地运用适合于任意数或未知数的符号来执行四个基本的算术运算。但是，普通的自然数集合就这一点来说是有缺陷的。1，2，3，…这些由计数产生的数被称为自然数；因为一旦我们开始对事物进行计数，这些数或大或小自然而然地就出现了。自然数的集合用?表示，?对于加法运算和乘法运算是封闭的。这意味着假如我们由两个自然数出发，可以把它们相加或相乘，而结果始终是一个自然数。不过，减法则是另一回事儿。减法是一个数减去另一个数，是加法的反向运算或逆运算，而数学家更乐意用后者来表述。就像3—5这样的算术题中的减法运算，把我们从?中带了出来，而进入人们平常所说的负整数的范围。出现这种困难时，我们不会放弃，而是采取如下态度，即我们的计数系统目前不够完备，应该扩展，使得我们的计算能继续下去。数的典型范例遍布高等数学及工程的所有领域，即通常所说的复数域，由?表示。从? 一路到?的旅程很长，直到19 世纪才真正完成。在此之前，关于不同于自然数的数，对其真实性、意义及有效性还有许多哲学上的烦恼。不过，我们将毫不迟疑地介绍所需类型的数。 说到此处，我们首先为?关联零这个数，用0来表示，即使得任何数加上或减去后数值都不会改变的那个数。必须承认0 并不是我们有时称之为自然数的正整数中的一员；不过，0仍然是个数，因而有必要在我们的算术系统中找到其自身的位置。接下来，我们为每个正数引入一个负的镜像；例如，—6便是6的负“搭档”。 尽管对于这门学科的发展并非必需，不过要描绘并解释数的行为，通常最简单的方式是想象数沿着数轴排列。这是一条水平线，整数就被置于沿线长等间距的点上。我们把0放在中间，正整数以自然升序向右行进，而负整数则占据零左侧的镜像位置。 所有整数的集合，如该集合的名称那样，包括正整数、负整数以及零，用符号? 表示；而?代表有理数的集合，由所有分数及对应的负数组成。集合?包含于?，因为整数n即等于有理数n/1。（我们说，?是?的子集；同样，?是?的子集。）不过，像3/9 和7/21这样的两个有理数被认为是相等的，因为二者都可化简为相同的分数，即1/3。任何正有理数都有唯一的表达式，即约分至最简项的分式a/b，这里的a 和b除了1之外没有别的公约数。有理数也可以描绘成按其自然顺序分布在数轴上，稠密而均匀地在整个数轴上展开。 一个数m（或正或负）加一个正数n，我们就从m出发，在数轴上向右移动n个点位，而减n则是左移n个点位。在集合?中，每个数n都有一个相反数 —n，我们现在用这个性质把减法定义为与负数相加。我们声明，减去任何数n，即指加上其相反数—n，所以加上一个负数—n，就是在数轴上左移n个点位。那么，要减去一个负数—n，我们就加上它的相反数n。换句话说，要减去负数—n，我们就在数轴上右移n个点位。

前　言　 第一章 数与代数　 第二章 代数的法则　 第三章 线性方程与不等式　 第四章 二次方程　 第五章 多项式代数与三次方程　 第六章 代数与余数的算术　 第七章 矩阵概览　 第八章 矩阵与群　 第九章 行列式与矩阵　 第十章 向量空间　 索 引 英文原文