代数学(二)

代数学是研究数学基本 问题的一门学问，本书相当 于高等代数第二学期课程的 内容，是此系列五卷本《代 数学》的第二卷。本书从线 性空间的度量化，即内积空 间为开端。作为几何现象代 数化的实例，介绍了欧氏空 间中的旋转和反射的刻画。 作为《代数学（一）》的对 角化方法的延伸，以内积空 间的线性变换及对角化作为 一个主线，系统研究了正规 变换（矩阵）的可对角化性 和谱分解，包括其子类自伴 变换（矩阵）和保距变换， 以及对应矩阵的相应刻画。 在多元多项式部分，除了通 常的基本内容以外，我们强 调了与后继课程代数几何的 联系及多项式函数的Jacobi 猜想。作为多重线性函数的 特例，来统一考虑双线性函 数和二次型，包括它们的简 化等。通过对双线性函数在 各种条件下的认识，对内积 空间的重要推广给予了介绍 ，加深对几何代数化的认识 。最后，我们介绍了交换环 上的矩阵理论，并在此基础 上完成了对代数闭域上矩阵 和线性变换的Jordan标准形 的刻画。 本书的特点是叙述简洁 ，深入浅出。书中配备了数 量较大的习题，可以加强读 者对教材内容的理解。 本书可作为高等院校数 学类专业以及对数学要求较 高的理工科专业的一年级本 科生的高等代数课程教材， 也可供高校数学教师作为教 学参考书和科研工作者作为 专业参考书。

第一章 内积空间 1.1 定义与性质 1.2 标准正交基和正交补 1.3 正交映射与酉映射 1.4 欧氏空间的复化 第二章 内积空间的几何 2.1 旋转和反射的定义和性质 2.2 正交变换的旋转和反射分解 2.3 投影与最小二乘解问题 第三章 内积空间中的可对角化变换和谱分解 3.1 伴随变换 3.2 可对角化与正规变换 3.3 自伴变换和反自伴变换 3.4 保距变换和对角化的算法 3.5 正规变换的谱分解定理 第四章 多元多项式理论 4.1 多元多项式代数 4.2 对称多项式 4.3 二元高次方程组求解的结式方法 4.4 多项式代数的Jacobi猜想简介 第五章 从线性函数到双线性函数 5.1 定义和引言 5.2 线性函数与对偶空间 5.3 多重线性函数与行列式 5.4 双线性函数的基本性质 5.5 对称双线性函数的对角化矩阵表示 5.6 反对称双线性函数的矩阵表示 5.7 复与实对称双线性函数的规范形和标准形 第六章 二次型和线性变换的分解 6.1 二次型与几何 6.2 二次型与自伴变换的正定性 6.3 线性变换的极分解和奇异值分解 第七章 内积空间的推广与辛空间 7.1 非退化双线性函数下的空间结构 7.2 辛空间 第八章 多项式代数上的矩阵论 8.1 交换环上的矩阵 8.2 λ-矩阵及其标准形 8.3 λ-矩阵的因子不变量与标准形的唯一性 第九章 Jordan标准形理论 9.1 线性空间的广义特征子空间分解 9.2 幂零变换下的循环子空间分解 9.3 Jordan标准形的存在性 9.4 域上矩阵相似的λ-矩阵刻画 9.5 Jordan标准形的唯一性和计算 9.6 过渡矩阵和Jordan-Chevalley分解 9.7 应用：极小多项式与相似对角化 参考文献 索引