数学物理方程

本书根据编者多年来教学实践编写而成。全书 共分七章。第一、二、三章分别介绍波动方程、热 传导方程与调和方程的基本定解问题的适定性、求 解方法及解的性质。在此基础上，第四、五、六、 七章分别介绍二阶线性偏微分方程的分类与总结、 一阶偏微分方程组、广义解与广义解、偏微分方程 的数值解等。在部分章节附有扩展阅读内容，以帮 助读者开阔视野与加深对正文内容的理解。此外， 在每节后都安排了一定数量的习题，供读者进行练 习。 本书可作为高等学校数学类专业本科生数学物 理方程课程的教材或教学参考书。

第一章 引言 第二章 调和方程 2.1 方程的物理背景和定解问题 2.1.1 静电场和定常位势流 2.1.2 调和方程和Poisson方程 2.1.3 边值问题 2.1.4 变分原理 2.2 调和函数的基本性质与应用 2.2.1 调和函数的基本性质 2.2.2 基本性质的应用 2.3 极值原理及其应用 2.3.1 极值原理 2.3.2 极值原理的应用 2.4 Green函数法 2.4.1 基本解和Green函数 2.4.2 特殊区域上的Green函数 2.4.3 球上Poisson方程的解 2.4.4 奇点可去性和解析性 2.5 特征值问题 2.5.1 一维情形 2.5.2 高维情形 2.6 一般的椭圆型方程 第三章 热方程 3.1 方程的物理背景和定解问题 3.2 分离变量法和初边值问题解的存在性 3.3 Fourier变换和Cauchy问题解的存在性 3.3.1 Fourier变换及其性质 3.3.2 Cauchy问题解的存在性 3.4 极值原理及其应用 3.4.1 弱极值原理和初边值问题解的唯一性 3.4.2 梯度估计和古代解 3.4.3 Harnack不等式和强极值原理 3.4.4 Cauchy问题解的唯一性 3.4.5 热半群的基本性质和应用 3.5 能量方法和解的唯一性 3.5.1 能量方法和初边值问题解的唯一性 3.5.2 倒向唯一性 3.6 一般的抛物型方程 第四章 波方程 4.1 方程的物理背景和定解问题 4.1.1 弦振动方程和力的平衡方程 4.1.2 定解问题 4.2 波方程的Cauchy问题 4.2.1 一维波方程的d'Alembert公式 4.2.2 三维波方程的球平均法 4.2.3 二维波方程的降维法 4.3 波的传播和解关于时间的衰减性 4.3.1 依赖区域、影响区域和决定区域 4.3.2 有限传播速度和Huygens原理 4.3.3 特征曲面与弱间断解