实变函数

本书是针对拔尖创新人才培养编写的实变函数 课程教材，全书内容共6章，分别为预备知识、抽象 Lebesgue积分、Lebesgue测度、Lp空间、微分、R 上函数的微分等，体系完整，为泛函分析、偏微分 方程、概率论、微分几何等课程提供基础理论。本 书强调数学的严谨性，用集合论语言进行了精确的 数学推理和证明，有助于培养学生的逻辑思维和解 决问题能力。 本书可作为高等学校数学类专业以及对数学要 求较高的理工类专业本科生的实变函数课程教材， 也可作为高校数学教师的教学参考书以及科研工作 者的参考用书。

第一章 预备知识 1.1 集合与映射 1.1.1 关系 1.1.2 集合族(列) 1.1.3 偏序集·格·上、下极限 1.1.4 集合列的极限(集) 1.1.5 对等·集合的基数 1.2 拓扑学·度量空间 1.2.1 度量拓扑 1.2.2 拓扑学的公理 1.2.3 Baire纲·Cantor集·Lebesgue-Cantor函数 1.2.4 σ-代数·Borel集 习题 第二章 抽象Lebesgue积分 2.1 Riemann积分的缺陷 2.2 可测集·可测映射·测度 2.2.1 可测空间与可测映射 2.2.2 测度空间 2.3 可测函数 2.4 Lebesgue积分 2.4.1 Lebesgue积分 2.4.2 可积函数 2.4.3 零测集的作用 2.4.4 积分收敛定理 2.5 收敛的模式 习题 第三章 Lebesgue测度 3.1 Lebesgue测度的构造 3.1.1 开集与紧集上的Lebesgue测度 3.1.2 外测度与内测度 3.1.3 扩张与完备化 3.2 Lebesgue测度的不变性 3.3 关于Lebesgue测度的注记 3.3.1 不可测集 3.3.2 Lebesgue与Borel 3.3.3 Minkowski和 *3.3.4 Brunn-Minkowski不等式 3.3.5 Lebesgue测度的正则性·Radon测度·Riesz表示定理 *3.3.6 Hausdorff测度与Hausdorff维数 3.4 可测函数的连续性 3.5 Riemann积分与Lebesgue积分的关系 3.6 Rn上的Fubini定理 3.6.1 Fubini-Tonelli定理 3.6.2 Fubini定理的应用 习题 第四章 Lp空间 4.1 凸不等式 4.2 Lp空间 4.3 连续函数逼近Lp函数 4.4 Sobolev空间