证明的故事：从勾股定理到现代数学

证明是数学思想中最重要，也是极具开拓性的特征之一。没有证明，就无法谈论真正的数学。本书讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。从古希腊几何学时代开始，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事。我们将看到欧几里德、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。这本书不是教材，它是在讲数学的历史，更是在讲数学思想的演变。作者揭示了数学学习和研究的底层方法和逻辑，让读者看到在数学中什么定理可以被证明，如何证明？什么问题可以（或无法）被解决？为数学研究和发展打开全新的视角。

[澳] 约翰·史迪威（John Stillwell） 澳大利亚数学家，美国麻省理工学院博士，旧金山大学荣休教授，首届美国数学学会会士（Fellow）。1994年国际数学家大会特邀报告人。 2005年荣获美国数学协会享有盛誉的“肖夫内奖”（Chauvenet Prize）。他是优秀的数学作者，本书和《数学及其历史》均为其代表作。

序言 iv 第 1章　欧几里得之前 1 1.1　勾股定理 2 1.2　勾股数组 4 1.3　无理数 7 1.4　从无理数到无穷 8 1.5　对无穷的敬畏 11 1.6　欧多克斯 12 1.7　附注 15 第 2章　欧几里得 16 2.1　定义、定理和证明 17 2.2　等腰三角形定理与SAS 19 2.3　平行公设的变体 22 2.4　再谈勾股定理 25 2.5　代数概览 26 2.6　数论与归纳法 29 2.7　几何级数 32 2.8　附注 36 第3章　欧几里得之后 38 3.1　关联 39 3.2　顺序 40 3.3　合同 43 3.4　完备 44 3.5　欧几里得平面 47 3.6　三角形不等式 49 3.7　射影几何 50 3.8　帕普斯定理和德萨格定理 54 3.9　附注 58 第4章　代数 60 4.1　二次方程 61 4.2　三次方程 63 4.3　作为“普遍算术”的代数 67 4.4　多项式与对称函数 68 4.5　近世代数：群 72 4.6　近世代数：域与环 76 4.7　线性代数 80 4.8　近世代数：向量空间 81 4.9　附注 85 第5章　代数几何 91 5.1　圆锥曲线 92 5.2　费马和笛卡儿 94 5.3　代数曲线 96 5.4　三次曲线 100 5.5　贝祖定理 102 5.6　线性代数和几何 104 5.7　附注 106 第6章　微积分 108 6.1　从列奥纳多到哈里奥特 109 6.2　无穷求和 111 6.3　牛顿的二项式级数 115 6.4　巴塞尔问题的欧拉解法 118 6.5　变化率 120 6.6　面积和体积 124 6.7　无穷小代数和几何 128 6.8　级数微积分 134 6.9　代数函数及其积分 138 6.10　附注 141 第7章　数论 144 7.1　初等数论 145 7.2　再谈勾股数组 149 7.3　费马最后定理 154 7.4　数论中的几何与微积分 157 7.5　高斯整数 163 7.6　代数数论 171 7.7　代数数域 174 7.8　环和理想 178 7.9　整除和素理想 183 7.10　附注 186 第8章　代数基本定理 190 8.1　在证明之前的定理 190 8.2　代数基本定理的早期“证明”及其漏洞 193 8.3　连续性和实数 195 8.4　戴德金对实数的定义 196 8.5　代数学家的基本定理 198 8.6　附注 200 第9章　非欧几里得几何 201 9.1　平行公设 202 9.2　球面几何 203 9.3　球面几何的平面模型 207 9.4　微分几何 209 9.5　常曲率几何 214 9.6　贝尔特拉米的双曲几何模型 218 9.7　复数的几何 222 9.8　附注 224 第 10章　拓扑学 227 10.1　图 228 10.2　欧拉多面体公式 233 10.3　欧拉示性数和亏格 237 10.4　作为曲面的代数曲线 239 10.5　曲面的拓扑 242 10.6　曲线奇点和纽结 247 10.7　赖德迈斯特移动 250 10.8　简单的纽结不变量 253 10.9　附注 258 第 11章　算术化 260 11.1　 的完备性 261 11.2　直线、平面和空间 263 11.3　连续函数 263 11.4　定义“函数”和“积分” 265 11.5　连续性和可微性 271 11.6　一致性 273 11.7　紧致性 277 11.8　编码连续函数 281 11.9　附注 283 第 12章　集合论 288 12.1　无穷简史 289 12.2　等势集合 291 12.3　与 等势的集合 297 12.4　序数 299 12.5　用集合实现序数 301 12.6　根据秩对集合排序 305 12.7　不可达性 306 12.8　无穷的悖论 307 12.9　附注 308 第 13章　数、几何和集合的公理 312 13.1　皮亚诺算术 313 13.2　几何公理 316 13.3　实数的公理 318 13.4　集合论的公理 319 13.5　附注 322 第 14章　选择公理 324 14.1　选择公理和无穷 325 14.2　选择公理和图论 326 14.3　选择公理和分析学 327 14.4　选择公理和测度论 329 14.5　选择公理和集合论 332 14.6　选择公理和代数学 333 14.7　更弱的选择公理 337 14.8　附注 340 第 15章　逻辑与计算 342 15.1　命题逻辑 343 15.2　命题逻辑的公理 345 15.3　谓词逻辑 350 15.4　哥德尔完备性定理 352 15.5　逻辑归约为计算 355 15.6　可计算枚举集 357 15.7　图灵机 359 15.8　半群的字问题 365 15.9　附注 370 第 16章　不完全性 375 16.1　从不可解性到不可证性 376 16.2　句法的算术化 377 16.3　根岑对PA一致性的证明 380 16.4　算术中暗含的ε0 384 16.5　可构造性 387 16.6　算术概括 390 16.7　弱柯尼希引理 392 16.8　五大子系统 394 16.9　附注 396 参考文献 397