常微分方程

常微分方程是数学专业 的专业必修课之一，主要包 括一阶微分方程的初等解法 、分离变量与变量替换、线 性微分方程与常数变易法、 恰当微分方程、隐式微分方 程解的参数表示、一阶微分 方程解的存在定理、高阶微 分方程、线性微分方程组等 内容。本书从常微分方程的 基本概念入手，逐步深入到 不同类型的方程的求解方法 和理论，内容安排循序渐进 ，逻辑清晰严谨。同时，书 稿注重理论与实践相结合， 通过丰富的例题和解析，帮 助读者更好地理解和掌握常 微分方程的应用。此外，本 书还介绍了许多前沿的研究 领域和实际应用案例，有助 于激发读者的学习兴趣和创 新思维。

第1章 绪论 1.1 一阶常微分方程 1.2 常微分方程组和高阶常微分方程 第2章 一阶微分方程的初等解法 2.1 分离变量法 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 2.2 常数变易法 2.3 恰当微分方程 2.3.1 恰当微分方程 2.3.2 积分因子 2.4 隐式微分方程 2.4.1 可以解出x或t的方程 2.4.2 不显含x或t的方程 第3章 解的存在唯一性定理 3.1 存在唯一性定理 3.2 解的延拓定理 3.3 解的最大存在区间估计 3.4 解对初值的连续可微性 3.4.1 解对初值的连续性 3.4.2 解对初值的可微性 第4章 高阶微分方程 4.1 线性微分方程的一般理论 4.1.1 解的存在唯一性定理 4.1.2 线性齐次微分方程解空间的结构 4.1.3 线性非齐次微分方程解空间的结构 4.1.4 常数变易法 4.2 常系数线性微分方程 4.2.1 微分方程的复值解 4.2.2 常系数线性齐次微分方程 4.3 常系数线性非齐次微分方程的解法 4.3.1 比较系数法 4.3.2 拉普拉斯变换法 4.4 一般高阶微分方程的若干解法 4.4.1 可降阶的方程类型 4.4.2 幂级数解法 第5章 线性微分方程组 5.1 解的存在唯一性 5.1.1 高阶微分方程转化为微分方程组 5.1.2 存在唯一性定理 5.2 线性微分方程组的一般理论 5.2.1 线性齐次微分方程组 5.2.2 线性非齐次微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组 5.3.1 矩阵指数与基解矩阵 5.3.2 特征根法 5.3.3 拉普拉斯变换法 第6章 微分方程组解的稳定性 6.1 李雅普诺夫稳定性的概念 6.2 李雅普诺夫稳定性的判别法