微分几何

微分几何是由古典几何进入现代几何时基础课 程。本书介绍大学微分几何课程的基本内容和理论 ，包括曲线和曲面的局部理论、曲面的内蕴几何、 微分流形和专题选讲。全书简明顺畅，几何意义突 出。特别是，本书习题均贯穿于正文中，是正文的 理论延伸、具体示例或方法练习等。本书是为数学 类专业基础较好的本科生（拔尖班、强基班、基地 班等学生）编写的微分几何入门教材，也适用于数 学类专业的普通本科生与研究生在学习微分几何课 程时酌情选择使用。

第一章 曲线和曲面的局部理论 1.1 正则曲线及其弧长参数化 1.1.1 正则曲线 1.1.2 弧长参数化 1.2 曲线的曲率和挠率 1.2.1 曲率 1.2.2 挠率 1.3 nenet-Serret公式与曲线论基本定理 1.4 正则曲面及其第一基本形式 1.4.1 正则曲面 1.4.2 第一基本形式 1.4.3 坐标变换与等距 1.5 第二基本形式、Gauss曲率和平均曲率 1.5.1 Gauss映射与Weingarten变换 1.5.2 法曲率 1.5.3 主曲率、Gauss曲率与平均曲率 1.6 GaUSS绝妙定理与曲面论基本定理 1.6.1 自然标架的运动方程 1.6.2 GaUSS-Codazzi方程与绝妙定理 1.6.3 曲面论基本定理 第二章 曲面的内蕴几何 2.1 曲面内蕴几何概述 2.2 Riemann度量 2.2.1 切平面 2.2.2 余切平面 2.2.3 Riemann度量 2.3 Levi-Civita联络与协变导数 2.3.1 协变导数与协变微分 2.3.2 平行移动 2.3.3 R3中曲面的协变导数 2.4 测地线 2.4.1 测地线的概念 2.4.2 测地曲率 2.4.3 指数映射 2.4.4 法坐标与测地极坐标 2.5 曲面内蕴曲率 2.5.1 曲率张量 2.5.2 GaUSS曲率的内蕴定义 2.5.3 曲率张量与协变导数 2.6 活动标架与结构方程 2.6.1 曲面上的微分形式 2.6.2 外微分法与正交活动标架 2.6.3 R3中的正交活动标架 2.7 常Gauss曲率曲面 2.8 Gauss-Bonnet公式 第三章 微分流形 3.1 什么是微分流形 3.1.1 抽象流形 3.1.2 光滑映射 3.1.3 切空间