数学欣赏

本书为大学生数学综合素养教育书籍. 全书从宏观的角度，以介绍数学的对象、内容、特点、思考方式、典型问题、典型方法为载体，通过深刻的分析及生动的实例，采用轻松的语气，使读者领悟数学之魂、认识数学之功、经历数学之旅、欣赏数学之美、品味数学之趣、感受数学之妙、领略数学之奇、思考数学之问，准确、完整、科学地认识数学的实质，剖析数学的魅力，弄清数学的脉络与层次，体味数学思想方法的深刻性与普适性. 该书不涉及深奥的数学知识，从历史与科学的角度切入题材，沿应用与传播的途径展开，以文化与美学的眼光欣赏，寓知识性、科学性、思想性、趣味性和应用性于一体，漫谈但不失严谨，通俗却不失深刻，科学又不乏趣味. 本书配有全套设计精美的教学课件，适合作为高等学校通识类课程——数学文化教学用书，也可作为通俗读物，供各级教师、大中学生和其他数学爱好者阅读.

序第一章 数学之魂 1第一节 数学的对象与内容 31.1.1 数与形——万物之本 41.1.2 结构与模式——万物之理 4第二节 数学的方法与特点 101.2.1 数学理论的建立方式 101.2.2 数学的思考方式 131.2.3 数学的特点及其对人的素质的影响 14第二章 数学之功 18第一节 数学的功能 192.1.1 数学的实用功能 192.1.2 数学的教育功能 192.1.3 数学的语言功能 202.1.4 数学的文化功能 21第二节 数学的价值 222.2.1 数学与个人成长 222.2.2 数学与人类生活 262.2.3 数学与科技发展 282.2.4 数学与社会进步 29第三章 数学之旅 31第一节 数学的分类 323.1.1 从历史看数学 323.1.2 从对象与方法看数学 34第二节 数学分支发展概况 363.2.1 几何学通论 363.2.2 代数学大观 403.2.3 分析学大意 433.2.4 随机数学一瞥 463.2.5 模糊数学概览 483.2.6 可拓学 —— 中国人自己创立的新学科 48第三节 数学形成与发展的因素与轨迹 503.3.1 数学形成与发展的因素 503.3.2 数学发展的轨迹 51第四章 数学之美 52第一节 数学、哲学与美学 534.1.1 数学与哲学 534.1.2 美学、美的本质与特征 544.1.3 数学美的根源 554.1.4 数学美的基本特征 55第二节 数学方法之美 594.2.1 认识论的飞跃—— 以有限认识无限 594.2.2 演绎法之美—— 以简单论证复杂 614.2.3 类比法之美—— 他山之石，可以攻玉 614.2.4 此处无形胜有形—— 存在性问题的证明 624.2.5 从低级数学到高级数学—— 一览众山小 63第三节 数学结论之美 654.3.1 三角形之美与正多面体 664.3.2 圆形之美与三角函数 724.3.3 矩形之美与黄金分割 804.3.4 自然对数的底与五个重要常数 884.3.5 方圆合一，自然规律 93第五章 数学之趣 96第一节 勾股定理与勾股数趣谈 975.1.1 千古第一定理—— 勾股定理 975.1.2 从几何观点看勾股定理 995.1.3 从代数观点看勾股定理—— 勾股数与不定方程 1015.1.4 勾股数的特殊性质 104第二节 悖论及其对数学发展的影响 1075.2.1 悖论的定义与起源 1075.2.2 悖论对数学发展的影响——三次数学危机 1105.2.3 几种常见悖论 1165.2.4 如何看待悖论 121第三节 数学与游戏 1235.3.1 一种民间游戏——“取石子” 1245.3.2 改变一下游戏规则 1245.3.3 用二进制来解决 1265.3.4 “取石子”的变种——“躲30”游戏 1275.3.5 结语 128第六章 数学之妙 129第一节 数学归纳法原理 1306.1.1 数学归纳法及其理论基础 1306.1.2 数学归纳法的变形 1326.1.3 归纳法在几何上的一个应用—— 两色定理 1356.1.4 归纳法趣谈 135第二节 抽屉原理与聚会认友 1376.2.1 抽屉原理的简单形式 1376.2.2 聚会问题 1396.2.3 抽屉原理与计算机算命 1416.2.4 抽屉原理的推广形式 141第三节 七桥问题与图论 1436.3.1 七桥问题 1436.3.2 图与七桥问题的解决—— 一笔画定理 1446.3.3 图的其他基本概念与图的简单应用 145第四节 数学与密码 1486.4.1 密码的由来 1486.4.2 密码联络原理与加密方法 1496.4.3 RSA编码方法与原理 150第七章 数学之奇 153第一节 实数系统 1547.1.1 数系扩充概述 1547.1.2 有理数域Q 1577.1.3 实数域R 1617.1.4 认识超穷数 162第二节 三种几何并存 1667.2.1 泰勒斯—— 推理几何学的鼻祖 1667.2.2 欧几里得几何 1677.2.3 第五公设的疑问 1697.2.4 第一种非欧几何—— 罗巴切夫斯基几何 1707.2.5 第二种非欧几何—— 黎曼几何 1727.2.6 三种几何学的模型与结论对比 1737.2.7 非欧几何产生的重大意义 175第三节 河图、洛书与幻方 1767.3.1 幻方起源 1777.3.2 幻方分类 1777.3.3 幻方构造 1787.3.4 幻方欣赏 181第八章 数学之问 184第一节 古代几何作图三大难题 1868.1.1 诡辩学派与几何作图 1868.1.2 三个传说 1878.1.3 三大作图难题的解决 1898.1.4 “不可能”与“未解决” 1908.1.5 放宽作图工具 1918.1.6 两千年历史的启示 193第二节 费马大定理 1948.2.1 费马与费马猜想 1948.2.2 无穷递降法：n =3、4的费马大定理证明 1958.2.3 第一次重大突破与悬赏征解 1988.2.4 第二次重大突破 1988.2.5 费马大定理的最后证明 1998.2.6 费马大定理的推广 200第三节 哥德巴赫猜想 2028.3.1 数的分解与分拆问题 2028.3.2 哥德巴赫猜想 2038.3.3 哥德巴赫猜想的研究 2048.3.4 陈氏定理 2068.3.5 附记 207第四节 四色猜想 2088.4.1 四色猜想的来历 2088.4.2 艰难历程百余年 2098.4.3 欧拉公式 2118.4.4 五色定理的证明 213第五节 庞加莱猜想 2158.5.1 百年猜想 2168.5.2 从空间维数谈起 2168.5.3 拓扑学 2188.5.4 庞加莱猜想 2198.5.5 进展 2208.5.6 佩雷尔曼的重大突破 2218.5.7 瑟斯顿几何化猜想 2218.5.8 哈密尔顿的Ricci流 2228.5.9 一个完整的证明 223第六节 七个千禧年数学难题及其他 2248.6.1 Riemann猜想（Riemann假设） 2248.6.2 Poincare猜想 2258.6.3 P对NP问题 2258.6.4 Hodge猜想 2268.6.5 Yang-Mills场的存在性和质量缺口 2268.6.6 Navier-Stokes方程的存在性与光滑性 2278.6.7 Birch和Swinnerton-Dyer猜想 2278.6.8 两个数论难题 227附录A 国际性数学奖简介 229附录B 国际性数学奖一览表 232附录C 人名索引 233主要参考文献 238