代数学(一)

代数学是研究数学基本 问题的一门学问，本书“代 数学（一）”是此系列五卷 本“代数学”的第一卷，主要 内容覆盖大学数学专业一年 级上半学年的线性代数和多 项式理论（统称高等代数） 的基本内容。本书从以“对 称性”观点认识规律入手， 以对数学的基本问题——对 数的认识的深化和抽象化、 实际问题的代数方程——的 认识出发，展开相关内容。 具体包括：代数学的一些预 备知识和群环域基本概念的 介绍，以解决代数方程为主 线的一元多项式理论和线性 方程组，及作为它们研究基 本工具的矩阵和行列式理论 ；作为几何空间抽象化的线 性空间理论的引入及系统研 究，包括基的存在性及作为 空间基本不变量的维数的定 义等等；反映不同线性空间 之间联系的线性映射的建立 及其矩阵刻画；研究线性空 间内部性质的基本工具—— 线性变换及其矩阵表示，特 别其上的特征理论的系统研 究。 本书可作为高等院校数 学专业类以及对数学要求较 高的理工科类专业的一年级 本科生的高等代数（包括线 性代数）课程的教材，也可 供高校数学教师作为教学参 考书和科研工作者作为专业 参考书。

第一章 预备知识(I) 1.1 集合 1.2 映射 1.3 集合的直积与运算 1.4 关系、等价关系与商集 1.5 偏序、Zorn引理与归纳法 1.6 集合的势 第二章 预备知识(II) 2.1 整数的基本性质 2.2 复数及其运算 2.3 对称性与群、环、域 第三章 一元多项式理论 3.1 一元多项式函数 3.2 一元多项式环 3.3 整除与带余除法 3.4 最大公因式与辗转相除法 3.5 不可约性与因式分解 3.6 多项式函数与多项式环的关系 3.7 复和实多项式的因式分解 3.8 有理多项式的因式分解 第四章 线性空间与矩阵 4.1 线性空间与子空间 4.2 子空间的交与和 4.3 向量的线性关系 4.4 向量组的线性表示 4.5 矩阵初步 4.6 分块矩阵的运算 4.7 向量组的等价关系 第五章 线性空间的基和维数 5.1 极大线性无关集与向量集的秩 5.2 基和维数，坐标 5.3 过渡矩阵、坐标变换 5.4 子空间交与和的维数公式 5.5 子空间的直和 5.6 数乘运算的意义 第六章 线性方程组的解与矩阵的秩 6.1 解线性方程组的Gauss消元法 6.2 矩阵的Gauss消元法及其应用 6.3 初等矩阵与矩阵的标准形 6.4 矩阵的秩 6.5 矩阵的秩与向量组的秩 6.6 矩阵的秩与线性方程组的解 6.7 线性方程组解集的结构 第七章 矩阵与行列式 7.1 行列式的定义与公式刻画 7.2 行列式的性质 7.3 行列式的Laplace展开 7.4 矩阵秩的行列式刻画 7.5 可逆矩阵与Cramer法则 7.6 可逆矩阵的求逆方法 第八章 线性映射与线性变换 8.1 从同态到线性映射 8.2 线性映射空间与积空间 8.3 线性空间的同构分类 8.4 像空间与核空间及其关系 8.5 商空间与同构定理 8.6 线性映射的矩阵与秩 8.7 线性变换代数与矩阵的相似 第九章 线性变换和矩阵的特征理论 9.1 不变子空间 9.2 特征理论的定义、关系及计算 9.3 基本性质 9.4 线性变换和矩阵的对角化 参考文献 索引