微积分理论与实践(上册)/章云

本书致力于将“新工科”教学改革中课程改革目标落地，从数学思想和数学工具两个主线组织内容。 本套书分为上、下两册。上册主要内容有：数与形、一元微积分、多元微积分、曲线与曲面积分。下册主要内容有：数学模型、无穷级数与函数逼近、迭代与优化、谱分析、积分变换。书中有丰富的应用实例。包括物理、优化、函数逼近、神经网络、BP学习算法、高频去噪、小波和滤波器等案例。本书是上册。 本书可作为与“新工科”改革配套的基础课程改革教材，也可作为低年级研究生复习高等数学的参考书。

章云，男，汉族，1963年3月出生，湖南常宁人。中共党员，工学博士，教授，博士生导师，广东工业大学副校长，广东省自动化学会副理事长。针对工科学生的科研需要，利用大量工程实例、长期面向本科生和研究生讲授数学提高课程。

前言 第1章  数与形——数学的核心1   1.1  数系1   1.2  代数3   1.3  几何7   1.4  解析几何11   1.5  函数与图像14 第2章  一元微积分——缜密的逻辑18   2.1  极限18     2.1.1  极限与“ε-δ”语言18     2.1.2  极限运算与基本函数极限表26     2.1.3  夹逼定理与未定式极限36     2.1.4  函数的连续性41     2.1.5  小结43   2.2  导数44     2.2.1  导数与基本函数导数表45     2.2.2  导数运算与性质51     2.2.3  导数的中值定理55     2.2.4  洛必达法则58     2.2.5  高阶导数61     2.2.6  微分的定义61     2.2.7  导数（微分）的应用64   2.3  不定积分71     2.3.1  原函数与不定积分71     2.3.2  基本函数不定积分表73     2.3.3  不定积分性质73     2.3.4  换元法74     2.3.5  分部积分法77   2.4  定积分80     2.4.1  定积分的定义80     2.4.2  定积分的性质82     2.4.3  牛顿莱布尼茨公式84     2.4.4  定积分的应用87     2.4.5  反常积分92   2.5  微积分小结95 第3章  多元微积分——延伸推广98   3.1  向量代数98     3.1.1  向量及其运算98     3.1.2  典型的多元函数108   3.2  多元函数的极限116     3.2.1  距离、邻域与点集116     3.2.2  多元函数极限118     3.2.3  多元函数连续性121   3.3  多元函数偏导数与微分122     3.3.1  偏导数122     3.3.2  全微分126     3.3.3  偏导数的运算性质130     3.3.4  隐函数求导132     3.3.5  偏导数的应用135   3.4  重积分153     3.4.1  二重积分154     3.4.2  三重积分162     3.4.3  重积分的应用165   3.5  多元微积分小结170 第4章  曲线与曲面积分173   4.1  曲线积分173     4.1.1  第一类曲线积分173     4.1.2  第二类曲线积分177   4.2  曲面积分182     4.2.1  第一类曲面积分182     4.2.2  第二类曲面积分187   4.3  格林公式193   4.4  高斯公式198   4.5  小结200

高等数学是工科学生一门非常重要的基础课。它不仅给出了许多解决实际问题的数学知识与工具，更重要的是让学生掌握严密的逻辑思维方法。但是，常常有学生产生质疑，“高等数学很玄……”“高等数学有何用？”学生对数学的学习产生了不同程度的畏惧和困惑。究其原因，可能有三： 一是与初等数学（含算术）的脱离。中小学的数学，让学生建立起了数及其运算、代数与变换、几何（形）与演绎证明、数与形的相互转换等基本数学框架。这个框架来源于人类对客观世界的自然理解，并且在日常生活实践中不断得以证实，在学生头脑中留下了深刻烙印。因此，高等数学的新概念如果不能无缝地嫁接到初等数学之树上，不能让学生清晰地理解到这些新概念都是过去旧概念或思想自然的延伸，就难免生出“悬浮”之感。 二是与解决实际问题的脱离。试图讲几个工程实例来达到解决实际问题的目的，是远远不够的。如果数学不能成为解决实际问题的“数学工具”，它就会变成玄学。那么何为“数学工具”？一是能高效求解且呈现出形式化，而不是技巧化；二是它一定是严密的，否则不是数学工具；三是通常情况下它是有前提条件的。例如，极限是贯穿整个微积分的概念，既然是非常有用的概念，那就要能给出方便求解的数学工具。但是，用“ε－δ”语言只能求解简单函数的极限，这只是一个原始工具。高效的工具是“极限值就等于函数值”，但极限值与函数值是两个完全不同的东西，这就必须要用“ε－δ”语言严格证明，而且能得到这个结论是有前提条件的，即是基本初等函数或经其四则与复合运算后得到的复杂函数，并在其定义域内。另外，还要强调高效工具是有例外的，对于边界点、断点、瑕点、非初等函数等还必须要用“ε－δ”语言证实结果，培养学生观察分析问题的全面性。因此，培养学生运用数学的能力，不是简单举几个工程实际的例子能解决的，更应该是在教学内容上以形成“数学工具”的方式来安排，这样才能让学生将学到的数学知识生根而不“悬浮”。 三是与数学思想方法的脱离。任何学科能独立成为一个学科，一定有它特有的解决问题的思想和方法。数学作为一门独立的学科，同样有它特有的解决问题的思想和方法。让学生掌握数学学科是怎样观察世界、描述世界，怎样思考分析问题、给出解决问题的方法，比让学生掌握许许多多数学知识更为重要。这就要求教师去了解数学的发展史，在组织讲授内容以形成“数学工具”这条主线时，有意识地去提炼、归纳、融会“数学思想”。当学生掌握了数学思想方法时，一定就会扎根难忘，不再“悬浮”。 编著者在多年的教学与科研工作中，深切体会到掌握了数学思想与工具，就会打开解决工程实际问题的大门。本书试图弥补前述三点不足，从“工科数学”新的角度诠释高等数学。一方面，“工科数学”首先必须是“数学”，数学课程最重要的功能就是培养学生严密的逻辑推导能力、抽象思维能力、归纳综合能力等；另一方面，工科生学数学，应与数学专业学生学数学有所差异，差异在于工科生要掌握“数学工具”。本书不强求给出系统的、严谨的数学体系，而追求讲清对数学的“理解”，希望给出一条主线细丝，把已学过的数学知识串起来，让学生感觉数学是踏实的、有用的。 本套书的主要内容： 第1章是对初等数学进行一个浓缩复习，并非要概述数学发展史。希望读者明了基本的数学思想，包括数学发展是建立在对自然认识的基础上，所以有深厚的根基；在认识的过程中，会出现新问题，从而需要新概念（例如，负数、分数、无理数等）。但新概念总是要与已有概念无缝衔接与相容，这是数学的严谨性；当以“符号”代替“数”，萌发出“代”数思想，使数学的抽象性、逻辑性得到强化，真正让数学具有了普遍性的指导意义。 第2章是一元微积分的主要内容，包括极限定义、用“ε－δ”语言求基本初等函数的极限、无穷小及其极限四则运算与复合运算的性质、夹逼定理与两个重要极限；连续性定义（极限的第一个重要应用）、介值定理与零点定理；导数定义（极限的第二个重要应用）、导数的几何意义、基本初等函数的导数表、导数的四则运算与复合运算的性质、隐函数求导、导数的中值定理、洛必达法则、高阶导数、微分、函数单调与凹凸性与泰勒展开公式等导数应用；不定积分的定义（导数的逆运算）、基本不定积分表、不定积分的性质、换元法与分部积分法；定积分的定义（极限的第三个重要应用）、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式、定积分应用、反常积分。这一章是高等数学最重要的基础。高等数学与初等数学的分水岭在于，后者只处理“有限”而前者要处理“无限”。处理“无限”的一个重要概念或工具就是极限。极限采用“ε－δ”语言定义，“ε－δ”语言是初等数学中代数不等式的典型应用，从而将初等数学的“有限”与高等数学的“无限”无缝衔接。本书对这一点进行了详细的叙述，就是基于“工科数学”必须是“数学”的理念。为了高效地求出复杂函数的极限，需要研究极限的性质，由此将构成求极限的高效“数学工具”。这部分内容是按照工科生学数学的理念重新进行了演绎安排。对于导数、不定积分、定积分，都是基于上述理念重新做了编排。 第3章是多元微积分的主要内容。先建立多维空间向量、矩阵及其运算的概念，引导学生习惯用向量、矩阵描述多元函数。在此基础上，再将一元函数中的极限、导数、定积分推广到多元函数中。在建立多元函数极限、偏导数、重积分的高效“数学工具”时，始终按照“降维”的思路进行叙述，将多元函数的各种求解严密地落实到一元函数的各种求解方法上。 第4章是曲线与曲面积分。前两章是微积分的核心内容，其“微分”或“积分”是隐含建立在空间坐标上的。而“微分”或“积分”是建立在曲线或曲面上的。这一点常常使学生感到糊涂。为此，将此类微积分单独成章，一是强调与前面的不同；二是强化它实际上也是前面内容的应用。 第5章是数学模型，将高等数学中的微分方程放在了本章，培养学生运用数学语言描述客观世界的能力，是微积分工具的一大实践。先是用初等数学建立起数学模型的概念，以及基本的建模方法；在此基础上，指出初等数学建立的数学模型都是恒定条件下的建模，是静态模型。实际系统都会运行在非恒定条件，这时需要采取“微分”思想，以微分方程来描述，是动态模型。本章内容采取分层渐入与对比的方式组织，不仅仅讲微分方程的求解，更注重微分方程的建立，并通过例题展现动态模型与静态模型的关联，让学生真切体会微积分思想。 第6章是无穷级数与函数逼近，将高等数学中的无穷级数放在了本章，是函数泰勒展开公式的拓广，也是微积分工具的一大实践。本章从函数特征分析入手，点出函数展开成无穷级数是将复杂问题（原函数）用多个简单问题（基函数）来无限逼近的数学思想；给出了正项级数、交错级数（绝对）收敛判据，重点研究了幂级数的收敛性；在此基础上，介绍了工程中函数逼近与数据拟合思想，并给出了常用的最小二乘法这个高效数学工具，它的核心就是微积分；最后，介绍了人工智能领域一个基础内容——神经网络模型。 第7章是迭代与优化，是工程中常用的数学工具，特别适合用计算机来处理，也是微积分工具的一大实践。首先，以泰勒展开公式严密地叙述优化迭代原理，并将此原理应用到单变量寻优、多变量轮换寻优中；其次，重点讨论了梯度法以及牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法；最后，介绍了著名的神经网络BP学习算法。 第8章是谱分析，将高等数学中的傅里叶级数放在了本章，这是工程中另一个常用的数学工具，也是微积分工具的一大实践。谱分析的核心是将时域中的问题转换到频域中分析，这是一个很有意义的数学思想。本章先给出了周期函数的傅里叶级数、非周期函数的傅里叶变换，这二者的应用前提是需要事先知道函数f(t)的表达式，再给出了离散时间的周期函数的傅里叶级数、离散时间的非周期函数的傅里叶变换，这二者只需要事先知道某些时刻的函数值f(tk)即可，在工程实际中更为有用。 第9章积分变换，是第7章的延续，进一步阐述数学变换的思想，也是微积分工具的一大实践。从傅里叶变换需要函数绝对可积这个条件带来的局限入手，介绍拉普拉斯变换，形成求解常微分方程的一个有效工具；从傅里叶变换只适合平稳信号分析的局限入手，先介绍加窗傅里叶变换，建立时-频联动分析的新思想，再拓宽到时-频窗自适应变化的小波变换上。 总之，前四章是微积分的理论部分，为上册，重点给出一元和多元函数极限、（偏）导数、（不）定积分严密高效的基本数学工具；后五章是微积分的实践部分，为下册，将微积分的基本数学工具发展到广泛用于工程实际的高级数学工具。 本书既适合在校的工科生，也适合考研学生参考学习，对于从事工程开发应用的技术人员也有较好的参考价值。