增量未知元及其预处理迭代算法/王洋

本书针对线性方程组和非线性方程组的数值解法进行了研究，提出了一些有特色的理论研究结果和高效实用且稳定的算法，并对每一种算法的收敛性稳定性都给出了严格的证明，同时附有大量的数值实验来验证理论的重要性和有效性。本书可供高等学校数学系高年级本科生或研究生数值分析课程教材，也可供有关研究人员和工程技术人员参考。

代数方程组的高效求解是计算数学中一个基础共性且十分关键的问题。本书根据作者近几年在代数方程组求解方面研究所取得的成果以及靠前外相关研究成果撰写而成。全书共6 章，对增量未知元预处理技术、非线性特征值问题、非埃尔米特正定线性代数方程组以及非线性代数方程组的求解方法进行了系统而深入的介绍。 本书可作为信息与计算科学、数学与应用数学以及相关数学专业的研究生和高年级本科生的拓展读物，也可供相关领域从事教学与科研的专业人士参考。

章引言1 1.1增量未知元方法与微分方程数值解1 1.1.1一阶增量未知元1 1.1.2二阶增量未知元2 1.1.3类小波增量未知元6 1.2数值代数方法7 1.3本书的主要工作11 第2章基于增量未知元方法的非线性特征值问题的研究13 2.1非线性特征值问题简介13 2.2线性Richardson方法和MarderWeitzner方法14 2.2.1线性Richardson方法14 2.2.2MarderWeitzner 方法14 2.3MarderWeitzner方法的改进15 2.3.1修正的Richardson方法15 2.3.2修正的MarderWeitzner方法15 2.3.3A1方法17 2.4数值实验18 2.4.1Dirichlet 问题18 2.4.2非线性特征值问题18 2.4.3结论24 第3章一类反应扩散方程的多层分块类小波增量未知元25 3.1多层分块类小波增量未知元25 3.2逼近格式及其等价形式29 3.3关于范数的三个引理33 3.4显格式和半隐格式的稳定性估计33 3.5数值结果37 第4章非埃尔米特正定线性系统的迭代方法40 4.1简介40 目录增量未知元及其预处理迭代算法4.2非埃尔米特正定线性系统的预条件NSS方法41 4.2.1预条件正规/反对称分裂(PNSS)迭代方法的建立41 4.2.2PNSS迭代方法收敛性分析41 4.2.3不精确的预条件正规/反对称分裂(IPNSS)迭代及其 收敛性分析43 4.2.4数值算例44 4.2.5总结46 4.3非埃尔米特正定线性系统的两参数预处理NSS迭代方法46 4.3.1两参数预处理NSS迭代方法的建立46 4.3.2两参数预处理NSS迭代方法收敛性分析47 4.3.3最优化策略50 4.3.4不精确两参数预处理NSS迭代策略54 4.3.5数值算例55 第5章基于SOR迭代的复对称线性系统的MHSS加速方法60 5.1简介60 5.2MHSS迭代方法61 5.3基于SOR迭代的MHSS加速方法62 5.3.1MHSS加速方法的建立62 5.3.2MHSS加速方法收敛性的证明64 5.3.3数值实验65 5.3.4总结65 第6章非线性系统的迭代法66 6.1简介66 6.2关于NewtonLHSS后退方法及其全局收敛性的研究67 6.2.1NewtonLHSS后退方法的提出67 6.2.2Newton\|LHSS后退方法的全局收敛性定理68 6.2.3数值实验69 6.3PicardAHSS方法及其局部收敛定理72 6.3.1AHSS方法73 6.3.2PicardAHSS方法73 6.3.3PicardAHSS方法收敛定理74 6.3.4非线性AHSSlike迭代方法及其收敛性定理76 6.3.5数值结果78 6.4一类弱非线性方程组的PicardMHSS迭代方法81 6.4.1PicardMHSS方法及其局部收敛定理81 6.4.2非线性MHSSlike迭代方法及其收敛定理84 6.4.3数值结果86 参考文献89

在很多科学与工程计算领域，都会遇到大规模代数方程组的求解，有效求解大规模代数方程组是科学和工程计算中的重要研究内容。 本书分为两个部分共6章，主要内容概述如下。 部分～3章首先介绍增量未知元预处理技术和近年来的HSS 类迭代方法，然后对于非线性特征值问题，基于二阶增量未知元方法，提出修正的MarderWeitzner 方法；对于各项异性反应扩散方程，基于矩阵分块，提出一种新的类小波增量未知元（WIU）,这里包含了作者的一些研究成果。 第二部分第4～6章研究几种增量未知元预处理迭代算法。第4 章对非埃尔米特正定线性代数方程组的数值解法进行研究，基于NSS 迭代方法，提出预处理NSS 方法和双参数NSS 方法，并对方法的收敛性进行细致的分析，给出迭代格式中迭代参数的计算方法。第5章首先介绍复对称线性代数方程组的迭代解法，提出基于SOR 迭代的复对称线性系统的MHSS 加速方法，分析迭代格式的收敛性，并以数值结果证明方法的优越性。第6 章研究非线性代数方程组的数值解法，基于LHSS 方法提出NewtonLHSS 后退方法并分析方法的全局收敛性，对于一类特殊的弱非线性代数方程组，提出PicardAHSS 迭代方法、非线性AHSSlike 迭代方法以及PicardMHSS 方法，分析方法的收敛性，并给出数值结果。 本书多数为作者的研究成果，在相关问题中参考了伍渝江教授近几年的研究资料，在此表示感谢。 由于作者的学识与研究水平有限，研究领域与视角不够宽阔，书中一定有很多不尽如人意的地方，敬请相关专家和读者指正。 作者 2018年3月