高等数学进阶

本书是为考研同学提高高等数学水平而编写的，覆盖了数一和数三考研大纲的高等数学部分的全部内容。全书共11章，每章首先列出必须牢记、理解的基本概念，需要掌握、运用的基本结论，以及本章涉及的基本方法。然后，分节解析基本概念；简述定理、性质等基本结论；通过考研题型，给出常规的、完备的解题基本方法，并用适当例题解读方法、总结规律，给出各类题型解题方法综述；最后配有全面的、系统的、与考研题型相似的、与考研难度一致的练习题。每章安排一节对2003—2019年的数一和数三的高等数学部分考研真题进行分类、归纳、对比、分析，并应用本书研究的此类题型的解法处理和解决这些考研真题。为便于读者核对习题答案，各章给出了习题的答案与提示。
本书可以作为考研数学复习第一轮的辅导书，也可作为学习“数学分析”“高等数学”和“微积分”的教学参考书，还可作为理工类和经管类的“高等数学续论”或“微积分续论”课的教材。

第1章数列、函数、极限与连续1
1.1数列极限的求法2
题型1计算数列极限（3）
题型2证明数列收敛、并求极限（9）
1.2函数极限的求法13
题型3计算函数极限（18）
1.3函数的连续性27
题型4讨论函数的连续性、求函数的间断点、判断间断点所属类型（28）
1.4关于函数、极限与连续的常见考研题型31
题型5未知常数的确定（31）
题型6计算含有变限积分函数的极限（35）
题型7计算抽象函数的极限（35）
题型8求无穷小的阶数和阶的比较（37）
1.5数列、函数、极限与连续考研真题40
1.6本章练习题答案与提示50
第2章导数与微分60
2.1导数的求法60
题型1求函数在一点的导数（62）
题型2求初等函数的导数（63）
题型3求非初等函数的导数（65）
2.2高阶导数的求法74
2.3导数与微分考研真题78
2.4本章练习题答案与提示82
第3章一元函数不定积分与定积分88
3.1不定积分89
题型1用凑微分、变量代换、分部积分法求不定积分（90）
题型2求有理函数的不定积分（95）
题型3求无理函数的不定积分（99）
题型4求三角函数的不定积分（102）
题型5求分段函数的不定积分（106）
3.2定积分107
题型6用变量代换、分部积分法计算定积分（109）
题型7计算对称区间的定积分（112）
题型8计算非初等函数的定积分（114）
题型9用换元变换计算定积分（115）
题型10计算反常积分（广义积分）（117）
3.3一元函数积分考研真题119
3.4本章练习题答案与提示124
第4章连续性定理与微积分中值定理133
4.1不等式与存在性的证明133
题型1方程根（函数零点）的讨论（135）
题型2证明不等式（138）
题型3存在一点满足等式的证明（143）
题型4存在两点满足等式的证明（151）
4.2定积分等式与不等式的证明155
题型5定积分等式的证明（156）
题型6定积分存在性的证明（157）
题型7定积分不等式的证明（158）
4.3连续性定理与微分中值定理考研真题163
4.4本章练习题答案与提示167
第5章一元函数微积分的应用174
5.1函数图像的几何性质175
题型1求函数的极值点和极值（176）
题型2求函数的单调区间（176）
题型3求函数的最大值和最小值（176）
题型4求函数的凹凸区间和拐点（176）
题型5求曲线的切线、法线和渐近线（177）
5.2微元法在计算面积、体积、弧长中的应用181
题型6计算平面图形的面积（182）
题型7计算空间体的体积（183）
5.3微元法在物理上的应用188
题型11计算液体压力（188）
;题型12计算物体之间的引力（190）
题型13计算变力做功（191）
题型14计算物体的质量（192）
5.4微积分在经济中的应用194
题型15计算成本、收益、利润、弹性以及边际、平均成本、收益、利润（195）
5.5一元函数微积分的应用考研真题199
5.6本章练习题答案与提示207
目录目录第6章微分方程213
6.1一阶微分方程的解法214
题型1求可分离变量方程的解（214）
题型2求齐次方程的解（215）
题型3求一阶线性方程的解（215）
题型4求伯努利方程的解（216）
题型5求全微分方程的解（217）
题型6利用简单的变量替换求一阶方程的解（218）
6.2二阶微分方程的解法220
题型7求二阶常系数线性齐次方程的解（221）
题型8求二阶常系数线性非齐次方程的通解（221）
题型9求可降阶的二阶微分方程的解（224）
题型10求n阶常系数线性齐次方程的解（225）
题型11求函数的表达式（226）
6.3差分方程的解法229
题型12求一阶差分方程的解（230）
题型13求二阶差分方程的解（231）
6.4常微分方程考研真题232
6.5本章练习题答案与提示239
第7章无穷级数244
7.1数项级数敛散性的判别方法245
题型1判别正项级数的敛散性（246）
题型2判别交错级数的敛散性（248）
题型3判别任意项级数的敛散性（250）
7.2幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域252
题型4求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（254）
7.3求和函数与数项级数的和257
题型5求幂级数的和函数（259）
题型6求数项级数的和（262）
7.4函数展成幂级数264
题型7函数展成麦克劳林级数（265）
题型8函数展成泰勒级数（268）
7.5傅里叶级数270
题型9傅里叶级数的收敛域与傅里叶级数在一点的和（272）
题型10函数展成傅里叶级数（273）
题型11函数展成正弦级数和余弦级数（273）
题型12函数展成一般周期的傅里叶级数（274）
7.6无穷级数考研真题276
7.7本章练习题答案与提示285
第8章多元函数连续、偏导数、全微分及其应用292
8.1多元函数连续、偏导数和全微分293
题型1求二元函数的极限（294）
题型2证明二元函数极限不存在（294）
题型3求多元函数的偏导数（295）
题型4求多元函数的全微分（296）
题型5讨论二元函数连续性、偏导存在性和可微性（297）
题型6求抽象复合函数的偏导数（299）
题型7求隐函数和隐函数组的偏导数（300）
8.2多元函数的极值与最值307
题型9求二元函数的极值点和极值（307）
题型10求多元函数的条件极值或最值（308）
题型11求二元函数在有界闭区域上的最值（309）
8.3偏导数在几何上的应用311
题型12求空间曲线的切线方程和法平面方程（311）
题型13求曲面的切平面方程和法线方程（313）
8.4多元函数连续、偏导数与全微分及其应用考研真题313
8.5本章练习题答案与提示321
第9章重积分327
9.1二重积分328
题型1交换累次积分的积分次序（333）
题型2直角坐标与极坐标的累次积分转化（334）
题型3计算对称区域上的二重积分（335）
题型4计算非初等函数的二重积分（336）
题型5利用坐标变换计算二重积分（337）
题型6二重积分的解答与证明（338）
9.2三重积分341
题型7计算三重积分（343）
题型8利用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分（345）
9.3重积分的应用350
题型9计算物体的质量、质心、转动惯量和引力（351）
9.4重积分考研真题352
9.5本章练习题答案与提示359
第10章曲线积分与曲面积分365
10.1曲线积分366
题型1计算第一类曲线积分（368）
题型2计算第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)（370）
题型3计算与路径无关的平面曲线积分（374）
题型4曲线积分的等式与不等式的证明（376）
10.2曲面积分379
题型5计算第一类曲面积分(对面积的曲面积分)（380）
题型6计算第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)（383）
10.3向量场的通量与散度、环流量与旋度388
题型7计算通量、散度、环流量和旋度（389）
10.4曲线积分与曲面积分的简单应用390
题型8计算曲线和曲面的质量、质心、形心、转动惯量和引力（391）
10.5曲线积分和曲面积分考研真题393
10.6本章练习题答案与提示398
第11章向量代数与空间解析几何406
11.1向量及其运算406
题型1向量与向量运算（408）
11.2平面与直线及其方程410
题型2求直线方程和平面方程（411）
11.3曲面及其方程414
题型3求旋转曲面方程与投影（415）
11.4向量代数与空间解析几何考研真题417
11.5本章练习题答案与提示418