线性代数

本书根据教育部近期新制定的高等学校《线性代数课程教学基本要求》，并参考历年研究生入学考试《数学（一）考试大纲》编写而成。本书公分六章，内容为行列式、矩阵、向量及其线性相关性、特征值与特征向量、二次型、Matlab应用。书末附有部分习题的答案或提示。本书可作为高等院校非数学类各专业线性代数课程的选用教材或教学参考书。

前言
第1章矩阵1
内容导引1
1.1矩阵的概念3
1.1.1矩阵的定义4
1.1.2矩阵的相等5
1.1.3几种特殊的矩阵6
练习8
1.2矩阵的运算8
1.2.1矩阵的加法8
1.2.2数与矩阵相乘9
1.2.3矩阵与矩阵相乘10
1.2.4矩阵的转置15
1.2.5矩阵的逆17
练习20
1.3初等变换与初等矩阵20
1.3.1初等变换20
1.3.2矩阵的等价、行阶梯形矩阵与
行最简形矩阵22
1.3.3初等矩阵25
1.3.4初等变换的应用30
练习32
1.4分块矩阵33
1.4.1分块矩阵的定义33
1.4.2分块矩阵的运算34
1.4.3矩阵的按行分块与按列分块37
练习40
1.5矩阵的创建及操作实验40
1.5.1矩阵的创建40
1.5.2矩阵及其元素的修改44
1.5.3矩阵的数据操作46
1.5.4矩阵的加减、数乘、转置
运算47
1.5.5矩阵乘法、矩阵的逆运算48
1.5.6化行最简形矩阵的运算49
1.5.7课后实验50
1.6应用实例51
1.6.1引例的解51
1.6.2实例1：人口变迁问题53
1.6.3实例2：试剂配制问题55
综合练习156
第2章行列式与矩阵的秩59
内容导引59
2.1二阶、三阶行列式61
2.1.1二阶行列式61
2.1.2三阶行列式62〖〗练习64
2.2n阶行列式65
2.2.1排列、逆序和对换65
2.2.2n阶行列式的定义67
练习68
2.3行列式的性质69
练习74
2.4行列式按行（列）展开75
2.4.1余子式和代数余子式75
2.4.2行列式按行（列）展开76
练习81
2.5方阵的行列式82
2.5.1方阵的行列式82
2.5.2伴随矩阵84
2.5.3矩阵可逆的条件85
2.5.4方阵的m次多项式87
练习89
2.6矩阵的秩90
2.6.1矩阵秩的定义90
2.6.2矩阵秩的求法92
2.6.3矩阵秩的性质94
练习95
2.7行列式与矩阵的秩运算实验96
2.7.1行列式的运算96
2.7.2求矩阵的秩、方阵的幂运算97
2.7.3求矩阵的伴随矩阵运算98
2.7.4课后实验99
2.8应用实例99
2.8.1引例的解99
2.8.2实例1：欧拉四面体的体积计算
问题100
2.8.3实例2：矩阵秩判定齐次马尔
可夫链的遍历性问题101
综合练习2104
第3章向量组与线性方程组108
内容导引108
3.1克拉默法则110
3.1.1线性方程组的基本概念110
3.1.2克拉默法则111
练习115
3.2线性方程组的解117
练习129
3.3向量组及其线性组合130
3.3.1n维向量130
3.3.2向量组132
3.3.3向量组的线性组合133
练习1383.4向量组的线性相关性139
3.4.1线性相关与线性无关139
3.4.2线性相关性的有关性质144
3.4.3线性表示、线性相关、线性无关
三者之间的关系147
练习148
3.5向量组的秩149
练习155
3.6线性方程组解的结构156
3.6.1齐次线性方程组解的结构157
3.6.2非齐次线性方程组解的结构163
练习166
3.7向量组与线性方程组实验167
3.7.1向量组的线性相关性判别167
3.7.2解线性方程组的运算168
3.7.3课后实验170
3.8应用实例171
3.8.1引例的解171
3.8.2实例1：糖果配制问题172
3.8.3实例2：商品交换问题175
综合练习3176
第4章矩阵的特征值与二次型181
内容导引181
4.1向量的内积与线性变换183
4.1.1向量的内积、长度及正交性183
4.1.2正交向量组185
4.1.3正交矩阵190
4.1.4线性变换191
练习192
4.2特征值与特征向量193
4.2.1特征值与特征向量的概念193
4.2.2特征值与特征向量的求法193
4.2.3特征值与特征向量的性质196
练习202
4.3相似矩阵与方阵可对角化的条件203
4.3.1相似矩阵的概念203
4.3.2方阵可对角化的充要条件205
练习210
4.4实对称阵的对角化211
练习217
4.5二次型及其标准形218
4.5.1二次型的矩阵表示219
4.5.2用正交变换法化二次型为
标准形221
4.5.3用配方法化二次型成标准形226
4.5.4正定二次型228
练习231〖〗4.6矩阵的特征值与二次型实验232
4.6.1矩阵的特征值、特征向量
运算233
4.6.2矩阵的对角化运算234
4.6.3二次型化标准形运算235
4.6.4课后实验236
4.7应用实例236
4.7.1引例的解236
4.7.2实例1：兔子和狐狸的生态
模型237
4.7.3实例2：二次型的有定性判别
多元函数的极值问题238
综合练习4240
第5章向量空间与线性变换243
内容导引243
5.1向量空间的定义245
5.1.1向量空间的基本概念245
5.1.2向量空间的子空间247
练习247
5.2向量空间的基、维数和坐标248
5.2.1向量空间的基、维数248
5.2.2向量空间的坐标249
练习252
5.3基变换与坐标变换252
5.3.1基变换252
5.3.2坐标变换255
练习256
5.4线性变换257
5.4.1线性变换的定义257
5.4.2线性变换的性质257
5.4.3线性变换的矩阵258
5.4.4线性变换的应用261
练习262
5.5应用实例263
5.5.1引例的解263
5.5.2实例：调味品的配制问题264
综合练习5266
附录267
附录AMATLAB软件实验环境简介267
附录B线性代数发展简介273
附录C与线性代数发展相关的部分数学家
简介278
参考文献289

前言《线性代数》出版以来，经过8轮的教学实践检验，使用效果很好，受到了选用高校师生的好评，得到了广大读者的肯定，被评为“十二五”江苏省高等学校重点教材.与此同时，我们也一直有个愿望，总想为大家呈现一本这样的《线性代数》：既能让学生学好理论知识，为后继课程打好基础，又能为以后工作应用提供有力的支撑；既能改变学生感觉线性代数理论抽象、计算烦琐，不知如何学，学了不知如何用的印象，又能让学生和老师在尽可能短的时间内达成知识的信息互动交流与传承；除此之外，还想构筑一个新颖的平台，以此为媒介，激发他们的学习热情.几年来，每次和团队老师讨论线性代数的教与学时，都要提起这个愿望；每次修订、编写新的线性代数教材时，大家也会将想法逐步地融入其中，一点一点地向着这个愿望努力.几年来，已记不清有多少次和机械工业出版社高教分社的编辑们探讨如何完成这个愿望.这次再版，为我们实现这个愿望提供了机会.借这次再版之际，我们对教材进行了全面的修改、完善，除了保留了书中固有的优点，如力求通俗易懂，简单易学，既把握本课程的基本教学要求，又重视在各学科中的衔接、转换与应用外，这次修订还主要做了以下几点改进：
    1每章前增加了内容导引.内容导引以文字结合框图的形式展示.文字部分帮助学生了解本部分内容都主要能应用到哪些方面，增强他们的现实感.框图部分使得学生在学习本章之前，能够对本章内容、主要知识点之间的逻辑关系有个初步的了解；在学习本章之后，也可以帮助他们从整体上清楚地把握本章内容.2每章以引例开始，用一到两个完整的应用实例结束.引例以现实中的实际问题导入，改变以往直接开始讲授理论，尽量克服学生难以很快适应的缺陷；而最后的实例，可以为学生以后实践应用提供借鉴.通过一章的理论、技能、MATLAB软件的学习后，最后解决应用实例.3每章包含主干内容、例题、练习、综合练习.主干内容以由浅入深，环环相扣，不缺且够用为原则；前后文的逻辑关系力求明确，条理清晰.例题选编起到了支撑本章基本内容的作用.因学生最终要实现在线完成习题、综合练习，因此题量较前版教材大，题型也丰富了许多.练习选用了能起到巩固每小节知识点的典型题目；综合练习分为四个部分：基本题、综合题、提高题、考研真题.题目梯度明显，覆盖了线性代数的主流题目.提高题、考研真题选用了有一定难度的题目.4结合使用新媒介交互平台.本书的最大特点是结合使用了新的交互平台.这种平台，主要是突出移动端，就是利用手机和平板电脑，通过二维码等图像识别技术，将纸质教材和平台进行有机的结合.学生在学习时，可以在平台和纸质教材之间来回切换，从被动的学习模式转变为全力以赴解决问题的模式.两种媒介交互进行，有效避免学习疲劳.平台还提供虚拟奖励机制，可以进一步提高学生学习线性代数的兴趣，极大地提升学习效果.同时借助新的网络媒介，方便教学互动，节约学生的学习时间，减轻教师批阅作业的劳动强度.5为充分利用数学软件处理复杂计算的优势，本书介绍了数学实验.本次修订，将MATLAB软件的应用放到了各章，方便了应用学习，并达到了及时解决实际问题的作用.6本次修订，拓宽了本书的适用范围.本书可以满足32~56学时的教学要求.使用者可以结合自身情况选用.建议选用教学学时如下表：
    教学内容与教学学时建议表方案〖〗教学内容〖〗教学时数1〖〗第1章至第4章核心内容〖〗32学时2〖〗第1章至第5章核心内容〖〗40学时3〖〗第1章至第4章核心内容+MALTLAB实验〖〗40学时4〖〗第1章至第4章核心内容+MALTLAB实验+应用实例〖〗48学时5〖〗第1章至第5章核心内容+MALTLAB实验+应用实例〖〗56学时我们的愿望都在本书中得到了基本实现，在本书的使用中，我们也会进行适时维护，能否真正满足大家的要求，还有待使用本书的教师和学生们的实践检验.由于编者水平有限，本书也肯定存在不足之处，我们衷心地希望得到各位专家、同行和读者的不吝赐教，以期不断改进、完善.董晓波、张滦云、廖大见、刘才贵、蒋仁斌、姜乐、邓海荣、孙翠娟、张颖、薄丽玲等老师参加了本次修订工作.刘金禄教授、王维平教授、於遒副教授、黄迎秋副教授提出了很多宝贵的意见，也不同程度地参与了全书的修订工作.全书最后由董晓波教授统稿.〖〗这次修订，得到了南京航空航天大学岳勤教授、东南大学陈建龙教授、南京大学丁南庆教授和淮海工学院李存华教授的支持和帮助；也得到了校领导、理学院领导和各位同事的关心和帮助；在以往的教材编写中还得到了厦门理工大学郭成副教授、淮阴工学院杜董生副教授的帮助，在此一并深表谢意.编者