高等代数(普通高等教育基础课规划教材)

高等代数主要讲授线性空间的理论，也兼顾一部分多项式理论和代数基本知识。本书内容包括预备知识，多项式，矩阵，线性空间，线性变换，欧氏空间，二次型，线性方程组，行列式，矩阵的相似标准型。可以作为数学系本科低年级教材，也可作为工科高年级教材。

前言 第1章预备知识1 11集合及其运算1 12等价关系5 13映射7 14自然数与数学归纳法11 15数域16 第2章多项式19 21多项式及其运算19 22整除23 23最大公因式28 24多项式的因式分解36 25多项式的根39 26复系数与实系数多项式41 27有理系数与整系数多项式48 28多元多项式53 29对称多项式56 第3章矩阵63 31线性方程组与矩阵63 32矩阵的运算67 33矩阵的初等变换76 34矩阵的相抵84 35分块矩阵87 36矩阵的秩93 第4章线性空间101 41线性空间的定义101 42向量的线性相关性104 43基·维数·坐标109 44坐标变换113 45线性子空间116 46子空间的交与和118 47直和121 48线性空间的同构124 第5章线性变换127 51线性映射127 52线性映射的像与核131 53线性变换的概念135 54不变子空间139 55特征值与特征向量141 第6章欧氏空间147 61内积147 62标准正交基150 63正交子空间154 64正交变换155 65对称变换157 第7章二次型160 71二次型及其矩阵表示160 72二次型的标准形161 73正定二次型170 第8章线性方程组173 81再论矩阵的秩173 82消元法178 83齐次线性方程组181 84一般线性方程组187 第9章行列式192 91排列与逆序192 92二、三阶行列式193 93n阶行列式的定义195 94行列式的性质197 95行列式的展开202 96行列式的计算208 97行列式理论的一些应用220 第10章矩阵的相似标准形229 101特征值与特征向量的计算229 102对称矩阵标准形的计算234 103特征多项式与最小多项式238 104Jordan标准形242 105λ矩阵254 第11章进一步学习的资料262 索引266 参考文献272

前言高等代数与数学分析、解析几何并称本科数学专业的三大数学专业基础课程，是进一步学习各个数学分支学科的必备基础.高等代数主要讲授线性空间的理论，也兼顾一部分多项式理论与代数基本知识.现代科技的最成功之处就是把纷繁复杂的现实问题进行合理的线性化，从而使得问题可以得到良好的近似，而线性化之后的问题比较易于解决.线性化之后抽象出的数学模型就是一种最简单的数学结构——线性空间.本书的主体部分正是介绍线性空间的理论及其应用的.本书共分11章.第1章是一些基本的、常用的数学概念，如集合、映射、数学归纳法等；对这部分内容非常熟悉的读者可以略去.第2章是多项式理论，这部分内容是研究矩阵或者线性变换的特征多项式的有力工具.除此以外，多项式理论本身也有非常重要的意义，以及广泛的应用.第3章是矩阵的初步知识.矩阵是研究线性空间以及线性代数的有力工具，而其本身也有丰富的研究课题.第4、5两章介绍线性空间的几何理论，这实际上可以看作是向量几何的一种自然推广.第6章是读者熟知的欧氏空间的推广，这种推广是通过引入内积这个概念得以实现的.第7章实质上可以看作是研究多元二次齐次多项式，当然二次型本身在线性空间中也有实际意义.第8章研究一般的线性方程组的解的结构和解法.第9章介绍行列式理论.第10章则是研究一般线性变换的对角化问题，也就是Jordan标准形理论.第11章提供了一些较为困难的，或者开放性的问题，供学有余力或者兴趣浓厚的学生做研究性课题使用.本书的初稿完成于2003年，以校内讲义的形式使用了近十年.2011年编者对讲义进行了修订和增补.在使用过程中，编者尝试过两种形式，一是按照书的顺序进行，二是把第8章和第9章提前，放在线性空间理论之前讲授.两种方式的教学效果都不错.本书的编写得到了北京科技大学教材建设经费的资助编者