A-调和方程及其障碍问题/佟玉霞

众所周知，许多重要的物理现象的数学模型都是二阶非线性椭圆方程或方程组 .如物理中的热平衡问题、渗流问题等 .正是由于非线性椭圆方程或方程组在微分方程（如 Monge-Ampere方程）、微分几何（如调和映照）、流形上曲面之间的变换、拟正则映照、弹性力学（如 Lame-Navie方程组， Beltrami-Michell方程组、平面应力问题的 Levy方程）、量子物理学（如薛定谔方程）、电磁学中的电动方程（如 Yang-Mills方程）、控制论等方面的广泛应用 ,使得研究二阶非线性椭圆方程或方程组的弱解的相关性质具有重要的理论和现实意义. 作为描写稳定和平衡等物理现象的 Laplace方程 ,它的解有许多重要性质,这些性质在阐明物理现象、研究定解问题以及在其他数学理论中都起着重要作用 .近年来 ,人们所做的一个重要工作是推广 Laplace方程以使其理论能够应用到更为复杂的领域 . Laplace方程的一个重要推广是 p-Laplace方程 ,其研究结果能够应用于流体力学和弹性力学的领域 .引入张量后 , p-Laplace方程就可推广为更为广泛的 A-调和方程 . A-调和方程是 p-Laplace方程和 p-调和方程的重要推广形式 ,在位势理论、拟共形映射理论和弹性理论等现代科学技术的许多领域中有着广泛的应用 .例如 R. P. Gilbert、P. Shi和 Fang M.将带有体积力和源的非等温非牛顿 H-S流问题化成了 p-调和（或 A-调和）方程的边值问题 [1.3].形式各异的 A-调和方程成为连接数学与上述分支领域的桥梁,进而为科学家和工程师们建立和研究数学建模提供了行之有效的工具和方法. A-调和方程的理论和应用问题研究是目前国际上的热门研究课题 . 20世纪 80年代初 , Bojarski和 Iwaniec将空间拟正则映射理论与调和分析、高维奇异积分的 Calderon-Zygmund理论和偏微分方程理论 ,尤其是与 A-调和方程联系起来 ,使得人们可以用这些现代工具研究和解决几何函数论的问题 .目前,许多国际知名复分析专家 ,如 O. Martio和 T. Iwaniec教授等都致力于本方向的理论研究与应用研究工作. 本书主要讲述 A-调和方程及其障碍问题的弱解和很弱解的性质 ,以及微分形式 A-调和方程的加权积分估计 .其中大部分是作者近年来的科研成果 .全书共分为 6章:第 1章是预备知识 ;第 2、3章讲述了 A-调和方程及其障碍问题的弱解 (很弱解 )的若干性质 ,如正则性、有界性、唯一性、局部极值原理 A-调和方程及其障碍问题 等;第 4、5章讲述了微分形式 A-调和方程的加权积分估计和很弱解的性质 ;第 6章为相关问题. 本书的编著和出版得到了河北省重点学科 (华北理工大学应用数学 )、河北省自然科学基金项目 (编号 A2013209278)以及清华大学出版社大力支持 ,并感谢北京交通大学郑神州教授和河北大学高红亚教授多年来的指导与帮助 . 本书的主要内容是作者及其合作者近年来的科研成果 ,同时参考了其他作者的文献 .由于本书是从大量文献中整理出来的 ,书中出现疏漏或错误在所难免,作者真诚地欢迎读者批评指正. 佟玉霞

本书主要讲述 A-调和方程及其障碍问题的弱解和很弱解的性质 ,以及微分形式 A-调和方程的加权积分估计 .其中大部分是作者近年来的科研成果 .全书共分为 6章:第 1章是预备知识 ;第 2、3章讲述了 A-调和方程及其障碍问题的弱解 (很弱解 )的若干性质 ,如正则性、有界性、唯一性、局部极值原理 A-调和方程及其障碍问题

目录 第 1章预备知识... .. .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. ..1第 2章 A-调和方程 .. ..... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. ..7 2.1 A-调和方程很弱解的正则性 ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .7 2.1.1介绍 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .7 2.1.2预备知识 .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..8 2.1.3正则性的证明 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... ..9 2.2 A-调和方程很弱解的有界性 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..... .. .. .. . 14 2.2.1介绍 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .14 2.2.2预备知识及引理 .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... ..15 2.2.3有界性的证明 .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. 16 2.3变指数 A-调和方程弱解的唯一性 .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. 24 2.3.1介绍 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .24 2.3.2预备知识 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. 25 2.3.3先验估计 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. 26 2.3.4弱解的唯一性 .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. 31 2.4 A-调和方程弱解的局部极值原理 ... .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. . 34 2.4.1定义及主要结果 .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... ..34 2.4.2局部极值原理的证明 ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. . 35 2.5泛函极小的局部正则性 ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .39 2.5.1介绍 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .39 2.5.2定义及引理...... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..41 2.5.3主要定理及其证明 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. . 43 2.6 A-调和方程弱解的双权Caccioppoli型不等式 ... .. .. ... .. .. .. .. ..45 2.6.1引言 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .45 2.6.2定义及引理...... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..47 2.6.3主要结果及其证明 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. . 48 2.6.4在拟正则映射理论中的应用 ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .50 2.6.5推广到 Aλr 3 (λ1,λ2, Ω)-权.. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .50 A-调和方程及其障碍问题 3.4障碍问题很弱解的注记 ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .80 3.4.2引理和预备知识 .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... ..82 3.4.3定理 3.4.1的证明 ... .. ..... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. 83第 4章微分形式 A-调和方程弱解的加权积分估计 ... .. .. ... .. .. .. ..... . 87 3.54 第章 调和方程的障碍问题A-.... .. .. .. .. ... .. .. .. ..... .. .. .. ..... .. .. 3.1..54 双障碍问题很弱解的局部有界性 ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. 3.1.154主要结论 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. 3.1.2..55 预备知识及引理 .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... 3.1.3.56 有界性定理的证明 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. 3.2..67 变指数调和方程的双侧障碍问题A-.. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. 3.2.1.67 介绍 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... 3.2.2(3.2-1)...68 方程 的弱解与其双侧障碍问题的弱解之间的关系 3.2.3Caccioppoli.72 双障碍问题弱解的估计.. .. .. .. .. .. ... .. .. 3.374障碍问题弱解的梯度的高阶可积性 ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. 3.3.1..74 主要结论及引理 .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... 3.3.2.76 高阶可积性的证明 ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. 3.4.1.80 引言 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... 4.1..87 预备知识 .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. 4.2H.lder..91 调和张量的弱逆不等式A-.. .. .. .. ... .. .. .. ..... .. .. .. 4.2.1..91 主要结论介绍 .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... 4.2.2H.lder..93 双权弱逆不等式的证明 .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... 4.3..96 微分形式的双权嵌入定理 ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. λ(Ω)4.3.1.96 局部双权嵌入定理A.. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. r λr r 4.3.2全局 A(Ω)双权嵌入定理 .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. 101 4.3.3在拟正则映射理论中的应用 .... .. .. .. ..... .. .. .. ..... .103 4.4具有 Lipschitz和 BMO范数的加权不等式 .. .. .. ... .. .. .. .. ... 104 4.4.1预备知识与引理...... .. .. .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ... ..104 4.4.2主要结论及证明...... .. .. .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ... ..107 4.5位势算子下的加权不等式 .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ... .. .. .. .. .. 115 4.5.1介绍... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .115 4.5.2具有 Lipschitz和 BMO范数的位势算子的积分估计 .. 116 4.5.3 Aλ3 (λ1,λ2, Ω)-权 .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..... 117 4.5.4位势算子下的加权不等式 ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... . 120 目录 V 第 5章微分形式 A-调和方程的很弱解 .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... 123 5.1微分形式 A-调和方程很弱解梯度的零点 .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. . 123 5.1.1介绍... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .123 5.1.2弱 A-调和张量的 Caccioppoli不等式.... .. .. .. ... .. .. .124 5.1.3弱 A-调和张量的梯度的零点 ..... .. .. .. ..... .. .. .. ....128 5.2微分形式 A-调和方程很弱解的正则性... .. .. ... .. .. .. .. ... .. ..129 5.2.1预备知识及引理...... .. .. .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ... ..129 5.2.2高阶可积性的证明 .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. . 131 第 6章相关问题 ...... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. . 143 6.1弱 (K1,K2)-拟正则映射的 Caccioppoli不等式 .. .. .. .. .. ... .. . 143 6.2双障碍问题的模误差估计 .. ..... .. .. .. ..... .. .. .. ... .. .. .. .. .. 146 6.2.1引言... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .146 6.2.2模误差估计 ... .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..... .. .. .. ..... 150 参考文献 .. ..... .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. . 153