数学分析中的正反例研究--聚文网

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内容简介

《数学分析中的正反例》一书旨在对数学分析中的重要命题、定理进行巩固，同时更重要的是对一些易出错或易忽略的知识点、命题进行反例研究，反例属于数学中的“否定性定理”范畴，它可能在某种程度上限制了我们认识数学的世界，但从另一角度去看，许多反例的存在使数学多了层次性，反而激发了数学的活力，打开了一个新的世界。

前言
第1章极限理论1
1.1函数1
1.2数列及其极限9
1.3函数极限13
第2章一元函数的连续性18
2.1实数的完备性18
2.2函数的连续性23
第3章一元函数微分学40
3.1导数40
3.2微分中值定理46
3.3微分中值定理的应用——极值与拐点53
3.4带Lagrange型余项与Cauchy型余项的Taylor公式55
第4章一元函数积分学58
4.1可积性与可积函数类58
4.2定积分的性质71
4.3反常积分77
第5章级数理论80
5.1数项级数80
5.2函数列92
5.3函数项级数及其一致收敛判别法95
5.4函数列与函数项级数的性质99
5.5幂级数106
5.6傅里叶级数109
第6章多元函数微分学115
6.1平面点集中的拓扑115
6.2多元函数的极限118
6.3多元函数的连续性120
6.4多元函数的可微性122
第7章多元函数积分学130
7.1含参量积分130
7.2累次积分与重积分140
7.3曲线积分与曲面积分144
参考文献151

摘要

数学分析是数学类专业最重要的基础课程，其理论、思想和方法成为近代数学与现代数学的基础，渗透到几乎所有的数学分支领域中。众所周知，数学分析课程的理论严谨、抽象，是一门比较难学的专业基础课，学生在学习过程中对数学分析中概念、定理的理解有一定的难度，而学好数学分析，理解其基本概念和定理是最基本的，对概念、性质及定理理解不透，就无法学好该课程，当然更无法进行后继课程的学习。我们经过较长时间的教学实践发现，在对一些概念的性质、定理教学时，适当构造正反例进行对比教学，不仅能帮助学生多角度地理解数学分析中的性质及定理，同时也能激发学生对数学分析课程学习的兴趣。因此，作者基于对数学分析中的正反例的对比研究，编著了本书，构造了许多数学分析课程中的正反例，从不同的侧面解释、印证定理（或性质）的正确性，以及定理条件的充分性或必要性，帮助读者加深对数学分析中理论知识点的理解，使读者在得到了发散思维训练的同时，能够体会到数学的层次性及美感，激发读者的学习兴趣。由于我们水平有限，时间也较仓促，本书中不免存在不少不足、不当和错误之处，恳请读者批评指正。作者

数学分析中的正反例研究

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