与数学优秀生一起思考

怎样思考才能够品味到数学之美
怎样教学才能培养出数学很好生
这是一本引导学生学会思考的书
讲述如何从简单开始的教学故事

数学实质上是人们常识的系统化。数学的发展依赖于数学家的创造，数学学习要重视亲身体验，其核心是学生的“再创造”。在本书中，作者就如何培养数学很好生，用学生自己的思维方式进行再创造做了详细的讲述。

金荣生，上海市数学特级教师、市北中学校长助理、上海市基础教育特聘教授。曾获靠前0届苏步青数学教育奖一等奖。在市北中学组建“我爱数学社”，创办校本数学杂志《简单》，其指导的学生陈波宇曾获第三届丘成桐中学数学奖金奖。在《数学通报》《数学教学》等杂志发表论文20余篇。

总序Ⅰ 前言Ⅲ  第1章数学教学的核心是学生的“再创造”1 1 探究性学习，一种优秀生的培养策略2 11优秀生的培养模式2 12国内外数学探究性学习的研究现状5 13数学优秀生的学习特点7 一个源于Weierstrass函数的数学问题8 2数学课堂内的探究性学习9 21数学概念课的探究教学10 抛物线及其标准方程11 22数学命题课的探究教学14 基本不等式及其应用15 等比数列的前n项和公式19 23数学解题课的探究教学24 距离25 3在小课题研究中体验“亚研究”的过程28 31确定研究课题28 32寻找研究策略29 33交流研究结果30 关于四边形重心坐标的讨论31 人民路红绿灯设置合理性研究35 第2章做一个热爱数学的学生43 1兴趣，学习的动力源泉43 11数学，理性的艺术43 怎样证明3<π<4?46 12哪里有数，哪里就有美47 神奇的黄金分割49 目录13好玩的数学50 “我爱你”的逆否命题53 14大哉，数学之为用54 最优逃生线路56 2 提问，创新的起点58 21质疑58 同年同月同日生的概率究竟是多少？62 22类比67 三项式定理71 23归纳73 关于sinnx展开式的猜想76 24考虑逆向问题77 记一堂数列探究课81 25从不同的角度看问题84 证2003年联赛不等式题的多种方法88 求二元一次不等式表示区域的一种新方法90 线面垂直判定定理的一种新证法91 一道数列题的多种解法91 26生活中的问题92 汽车转弯路宽的估计96 3 从简单开始，一种探究的策略99 31特例探路100 不含孤立元的子集个数的探索103 一个反例的构造108 32着眼于极端情况110 圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用112 一个下界的探求116 IXVIII33分类讨论117 三阶幻方的性质研究119 “井”字游戏讨论122 再论与空间不共面的四点距离为定比的平面个数130 一类轨迹问题的探求132 34爬坡式推理135 怎样求1k+2k+…+nk?137 高斯求和的推广138 关于两点的球面距离的探究141 4 信息技术，一种帮助我们思考的工具143 41作图143 顶点在圆锥曲线上的直角三角形的一个性质147 利用几何画板探索函数f(x)=x+ax的性质148 运用几何画板的迭代功能画曼德布罗特分形集150 42计算152 折角过道问题155 用TI编程求整点最优解159 最优解问题的处理方式161 用编程求解简单的数论问题167 利用几何画板探索x-x1+x-x2+…+x-xn的最小值168 43模拟170 用随机数求π的近似值171 TI中利用随机数画分形曲线172 让学生用几何画板做数学173 利用几何画板探索一类最短距离问题177 第3章不能急，我们都需要鼓励的目光179 成长179 1 把学生一辈子的成长装在心里180 11要让学生学会思考182 三折线段构成三角形的概率问题及其推广183 12润物还需细无声189 追求自然的数学课堂192 13失误也能带来精彩193 2 《简单》，我们自己的数学杂志197 21《简单》创刊了197 给我们的刊物起名198 为什么要办这本杂志？198 如何办好这本杂志？199 给谁看？200 现在我来向大家介绍一下这本杂志的第一期200 我来谈谈第二期201 Mandelbrot集202 卷首语203 22想法从哪里来203 一定要有自己的想法203 数学有趣的一面更需要被我们发现和重视204 数学武侠小说——刀刀斩出玲珑面205 23你的路未止于此207 参考文献210

我们正处在这样一个时期，传统的教育理论在相当程度上仍然影响着我们的教学实践，而引进的多种现代教育理论，在给我们带来启示与借鉴的同时，尚难以通过与中国教育实践的整合形成体系。所以，努力创造适合我国国情的教育就成为深化教育改革的迫切任务。《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》指出，进一步提高我国基础教育水平，当前最重要的任务，一方面是推进教育公平，促进义务教育的均衡发展；另一方面是提高教育质量，全面推进素质教育。我国基础教育的规模发展已经取得令世人瞩目的成就，接受教育的机会公平问题已经基本解决，但是接受保证教育质量的机会公平问题依然突出，基础教育的主要任务已经从规模发展转向内涵发展，提高教育质量成为今后基础教育改革与发展的着力点。提高教育质量，重要途径是深化教育改革，创新人才培养模式。基础教育将以继续深化课程改革为重点，坚定不移地推进基础教育领域的各项改革，不断提升教育的整体水平。中国的教育事业正伴随着社会的变化经历着艰难的转型。教育从来没有像今天这样有着这么多的利益相关体，引起社会这样广泛的关注；也从来没有像今天这样，人们借鉴国内外各种教育理论，从不同的视角来审视中国的教育问题；更没有像今天这样，每一种教育主张的提出，都会产生多种反响，引起不同的评价。这是社会转型期活力的张扬，也是社会转型期发展的困惑，归根结底是对教育工作者如何正确地回答中国面临的诸多教育问题的挑战。历史经验证明，由于社会转型期提出的教育问题最多，所以，也最需要和最可能有一批教育工作者从理论和实践相结合的角度来进行回答，能够回答其中一个或者几个问题的人，就是教育家。我们现在所处的时代正是最需要和最可能产生教育家的时代。中国是世界上学校数量最多的国家，中国需要教育家办学当然不是只需要几个人，我们期待着每一位教育工作者，都正视当前教育存在的问题，都努力从自己的岗位上用革新者的姿态探索解决问题的途径，创造突出的业绩。这是当代教育工作者的历史使命与责任担当。教育事业的发展需要理念与实践的引领与示范，转型期的教育事业发展更需要理念与实践的引领与示范。优质教育归根结底是优质学校和优质教师进行的教育，素质教育归根结底是高素质学校和高素质教师进行的教育。基础教育要聚焦于学校发展和教师队伍建设，进一步激发广大教育工作者的积极性和创造热情。教育是科学，教育是艺术，教育更是一种修炼。这套丛书的出版目的就是搭建一个教师专业发展的平台，展示广大教育工作者改革与创新的成果，使其成为促进教育家成长的摇篮。我祝贺它的出版，希望它能成为教育工作者的朋友，为我国新世纪伟大教育目标的实现增添一份助力!〖JY,2〗〖XCQM.TIF〗〖JY,2〗〖HTK〗2015年11月27日〖HT〗〖TPJW.TIF,X,BP〗IIIIV

上海市市北中学首任校长唐乃康早在百年前就指出：“教诲学子，首在葆其天真。”要培养数学优秀生，比知识更重要的是好奇心。首先要学生保持对世界、对数学的一种纯真的态度，再选择适合学生特点的方法来教育学生，发挥长处，弥补不足，促进全面发展。
如何切实落实《普通高中课程标准》中所提出的“高中数学课程应具有多样性和选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展”，真正做到“以学生的发展为本”，重视人的差异性和个性，重视社会对人才的多层次需求，使对数学有特殊兴趣或特殊天赋的学生有进一步发展的空间？可以说，中国学生的数学平均成绩在世界上处于领先地位，但是数学优秀生所受的数学教育远不如西方国家，对数学优秀生的学习特点和培养策略开展研究，具有十分重要的意义。
陈波宇是我最得意的学生之一。他关于维尔斯特拉斯函数的数学论文，在全球582个参赛队中脱颖而出，获得第三届丘成桐中学数学奖（ShingTung Yau High School Mathematics Award）唯一的金奖。
按常规的数学人才“擅长解题”的标准，陈波宇在我们班并非特别出挑。就他最后的高考数学分数136分而言，在我们班46人中排名第21位，仅比班级平均分高2分。但在高一开学前的家访中我就发现，他是真的喜欢数学，他沉迷于看《几何原本》等数学经典著作。在上课时，我喜欢引导学生大胆质疑，让学生发表自己的看法，有时我们会就一道题而展开激烈的争论。陈波宇就是一个喜欢与我争论的学生：他会发现我讲课中的漏洞；他会提出自己对数学问题的独到想法；有时候我们在课堂上提出一个数学猜想，过了若干时间，当我也把这个猜想忘记了的时候，陈波宇可能会来与我讨论这个猜想，他是能长时间地思考一个数学问题的人。陈波宇的这些特质在常规的考试中不见得能起作用，但我认为他非常适合做数学研究。
对陈波宇的教育，我的成功之处在于以下三点：

一、 一份期待：天生他材必有用
陈波宇喜欢泡图书馆、读课外书，事实上他后面撰写的论文就是有关大学微积分的内容，其难度可以作为研究生的毕业论文，这些知识都是陈波宇在课余通过自学获得的。这些阅读和对新知识的入迷都需要花费大量的时间，他也曾经因此而迟交作业、上课迟到、影响高中学科的学习，但我一直相信天生他材必有用，对他的学习我经常提醒、鼓励，而不去限制。

二、 一种氛围：哪里有数，哪里就有美
我的学生王梦桥曾说：“在市北没有被困于升学与竞赛的压力和指标，而是可以真切地去接触数学的有趣和美丽，从单纯应试做题的机械乏味转变为对理性之美的欣赏赞叹。TI图形计算器上绘制的那些设想奇妙的画面，曼德布罗特分形构造出的斑斓图案，用乒乓球捏成的正二十面体，三年来我不知多少次感到惊奇与震撼。”
前言让学生因为数学理性思维的美而热爱数学，让学生在学数学的过程中体验成功，一直是我努力的方向，陈波宇对数学持久的热爱，也得益于他在一个热爱数学的班级。

三、 一本杂志：创新，从《简单》开始
学习数学的兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的，如独立地解决一道数学难题、做出一个数学猜想、想出一种新的解题方法等，都能使学生从这些“成功”中体验到创造的喜悦，激发起更高的学习热情。我鼓励学生将数学学习中的感悟以小论文的形式记录下来，编辑成“校本”（school based）杂志，杂志名字叫《简单》。学生自己写稿、审稿、编辑、排版。杂志中有数学小论文、数学小说、数学游戏攻略等，文章虽然“简单”，但都有学生自己的想法，对学生本人来说是一种创新，这些创作能唤起同学们对数学问题的思考。
陈波宇在高中阶段写了两篇论文，第一篇是《简单》第一期的第一篇;第二篇是《简单》第二期的第一篇，就是后来获得了丘成桐奖的这一篇。
由于陈波宇在英语等学科上的基础较差，我也担心他的升学和考试成绩。无心插柳柳成荫，学生的数学学习兴趣和信心的提升，也促进了学生的全面发展，陈波宇的弱势学科在高中最后一年取得了长足的进步。
教育学生不能只看学生眼前的成绩，要看到他未来20年的发展。
在我20多年教学工作中，培养了许多让我引以为傲的学生，如温州中学第一个进奥林匹克数学国家集训队的学生陈然、温州中学第一个进浙江省队参加数学冬令营的学生王中要、市北中学第一个参加数学冬令营的学生江昊琛等。本书也是对《数学，引导学生创新》金荣生.数学，引导学生创新［M］.上海：上海教育出版社,2011.的扩写，是我培养数学优秀生实践与思考的总结。
本书能够成稿并得以出版，离不开顾鸿达先生、杭顺清先生、李大元先生、方仁工先生、温州中学校长胡海帆先生和市北中学校长陈军先生的鼓励与指导，离不开我的学生的帮助与支持，在这里深表感谢！宗介华先生为我们的工作付出了大量的劳动，在此一并致谢！
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金荣生
2015年6月