数论与有限域

《数论与有限域》：内容涵盖数论与有限域的核心基础知识，叙述简明、推理详尽，展现有限域的本质，通过例题提示数论与有限域在网络工程、编码学、密码学、通信工程等方面的实际应用。
随着计算机科学和应用数学的发展，数论与有限域已经不仅仅是优秀数学家大展才华的场所，在计算方法、编码学、密码学、计算机代数、组合论、通信工程、离散控制系统等许多领域也得到日益广泛的实际应用。是许多从事应用和实际工作的工程技术人员必须掌握的数学基础知识。
《数论与有限域》是初等数论与有限域的入门教材，在编写过程中，力求做到从具体实例出发。引出抽象概念，强调计算而不只是偏重理论推导。叙述尽量简洁易懂。推理严谨，重点突出，试图使读者在较短时间内切实掌握数论与有限域的基本概念和基础知识，领会数论与有限域的精神实质和思想方法。

《数论与有限域》是初等数论与有限域的入门教材。全书共分七章，前四章论述了数论中的基础知识，具体内容包括：整数的整除理论、同余理论、数论函数、二次剩余以及原根与指数等内容；随后两章重点论述了近世代数中群、环、域的基本概念，有限域的构造以及有限域中的计算；最后一章则讨论了数论与有限域的简单应用。
《数论与有限域》结构紧凑、例题翔实，可作为高等院校网络工程、通信、信息工程、计算机、信息安全及其他相关专业本科生、研究生的教材和参考书，也可作为通信、计算机等领域中工程技术人员的参考书。

前言
教学和阅读建议
第1章整数与同余1
1.1整数1
1.1.1整数的定义1
1.1.2整除2
1.2整数的进位制表示法3
1.2.1带余除法3
1.2.2整数的二进制表示法5
1.2.3数制转换6
1.3整数分解8
1.3.1最大公因数8
1.3.2欧几里得算法10
1.3.3因式分解法13
1.3.4标准分解式17
1.4同余18
1.4.1同余的概念18
1.4.2线性同余式23
1.4.3中国剩余定理26
1.4.4威尔逊定理、费马小定理与欧拉定理27
习题31

第2章数论函数34
2.1积性函数34
2.1.1积性函数的定义34
2.1.2除数函数35
2.2高斯函数[x]37
2.2.1高斯函数[x]的性质37
2.2.2n！的标准分解式39
2.3欧拉函数φ(x)41
2.4默比乌斯函数43
2.4.1默比乌斯函数的概念43
2.4.2默比乌斯反演公式45
2.5完全数46
2.5.1完全数的概念46
2.5.2梅森数、费马数47
习题50

第3章二次剩余52
3.1二次剩余的概念52
3.2勒让德符号54
3.3高斯二次互反律57
3.4雅可比符号58
3.5二次同余式的解法和解数63
习题68

第4章原根和指数69
4.1原根69
4.1.1整数的阶69
4.1.2原根的概念72
4.1.3原根的存在性73
4.1.4原根的求法81
4.2指数81
4.2.1指数的性质82
4.2.2指数表83
习题85

第5章有限域的概念87
5.1群88
5.1.1群的概念88
5.1.2子群、陪集与拉格朗日定理90
5.2环93
5.2.1环的定义93
5.2.2多项式环96
5.3整环中的因子分解99
5.3.1一些基本概念99
5.3.2唯一分解整环102
5.4由整环构造域106
习题111

第6章有限域的抽象性质113
6.1有限域的加法结构113
6.2有限域的乘法结构114
6.2.1元素的阶114
6.2.2本原元118
6.2.3最小多项式与本原多项式123
习题129

第7章数论与有限域的应用131
7.1同余式的简单应用131
7.1.1正整数能否被除尽131
7.1.2弃九法132
7.1.3计算星期几134
7.1.4循环赛137
7.2二次剩余的应用139
7.2.1Blum通信游戏139
7.2.2欧拉伪素数139
7.3信息加密140
7.3.1文件集合的加密140
7.3.2rsa公钥密码体制141
7.4正交拉丁方142
7.5阿达玛阵145
7.6纠错码149
7.6.1循环码150
7.6.2循环冗余校验码153
习题155
参考文献157