遍历论

遍历论是一个重要的数学学科，研究几乎所有状态点的运动规律，并指出每个典型的状态点的运动轨道均遍历系统的所有状态，且就可积函数而言这种轨道的时间平均等于函数的空间平均。本书介绍遍历论的基本知识和基础技术，亦容纳少量最新研究成果。内容包括遍历定理，Shannon-McMillan-Breiman 定理，熵的理论和计算等。本书可作为数学相关专业研究生的教材，也可作为物理学、统计学、经济学等各专业研究生和科技人员的参考书。

    孙文祥，北京大学数学科学学院教授、博士生导师.研究方向为微分动力系统的遍历理论，主导研究非一致双曲系统的周期逼近和周期偏差课题，以及带奇点流的熵退化课题.长期讲授遍历论、微分动力系统、Pesin理论等课程，解决了四个公开数学问题.在国际著名的数学综合学术期刊和专业学术期刊发表研究成果论文二十余篇.

第1章 预备知识
  1.1 σ代数与测度
    1.1.1 概率空间的定义
    1.1.2 概率空间的形成
    1.1.3 单调类和σ代数
    1.1.4 积概率空间
    1.1.5 Borelσ代数
  1.2 可测函数与积分
    1.2.1 可测函数
    1.2.2 几乎处处收敛
    1.2.3 积分
  1.3 正则测度，绝对连续测度，Lebesgue数与Perron-Frobenius定理
  1.4 习题
第2章 遍历定理
  2.1 保测映射
    2.1.1 概念
    2.1.2 例子
  2.2 遍历测度
  2.3 Birkhoff遍历定理
    2.3.1 Birkhoff遍历定理的陈述
    2.3.2 对遍历定理的解释
    2.3.3 应用
    2.3.4 遍历定理的证明
  2.4 Poincare回复定理
  2.5 习题
第3章 测度熵
  3.1 测度熵的概念
    3.1.1 测度熵
    3.1.2 测度熵定义的合理性的讨论
  3.2 条件熵与测度熵
    3.2.1 条件熵
    3.2.2 用条件熵研究测度熵
  3.3 测度熵的性质
    3.3.1 映射的迭代
    3.3.2 熵是同构不变量
  3.4 测度熵的计算
    3.4.1 Kolmogorov-Sinai定理
    3.4.2 熵计算的例子
  3.5 习题
第4章 Shannon-McMillan-Breiman定理
  4.1 条件期望，条件测度和条件熵.：
  4.2 Shannon-McMillan-Breiman定理
  4.3 测度熵的另一种定义
  4.4 习题
第5章 拓扑熵
  5.1 拓扑熵的开覆盖定义
  5.2 拓扑熵的等价定义
    5.2.1 用生成集和分离集定义拓扑熵
    5.2.2 开覆盖定义，生成集定义，分离集定义相互等价
    5.2.3 迭代系统和乘积系统的拓扑熵
  5.3 非游荡集Ω（F）和h（T）=h（T|Ω（T））的证明
    5.3.1 非游荡集的概念和简单性质
    5.3.2 证明h（T）=h（T|Ω（T）
  5.4 拓扑熵的计算（I）
    5.4.1 可扩同胚
    5.4.2 可扩映射的拓扑熵
  §5.5  拓扑熵的计算(II)
  §5.6  习题
第6章  变分原理
  §6.1  度量空间的测度
    6.1.1  Borel概率测度的相等
    6.1.2  M(X)的拓扑
    6.1.3  M(X，T)和E(X，T)
    6.1.4  不变测度的生成
    6.1.5  遍历测度的通有点
  §6.2  遍历分解定理
    6.2.1  定义4个集合
    6.2.2  遍历分解定理
    6.2.3  遍历分解定理的另外形式
  §6.3  熵映射
  §6.4  变分原理
  §6.5  拓扑Markov链与最大熵测度
  §6.6  拓扑混合但统计平凡的一个例子
    6.6.1  例子的构造
    6.6.2  (□，σ)的拓扑混合性
    6.6.3  唯一的遍历测度支撑在唯一的不动点上
  §6.7习题
第7章  流的熵
  §7.1  时间1映射的熵
  §7.2  等价流和Ohno的例子
    7.2.1  拓扑等价与拓扑共轭
    7.2.2  Ohno的例子的构造
    7.2.3  对例子的进一步讨论
  §7.3  流的熵的另一种定义
  §7.4  习题
第8章  拓扑压
  §8.1  拓扑压的定义
    8.1.1  用生成集和分离集给出的拓扑压定义
    8.1.2  拓扑压的开覆盖定义
    8.1.3  定义的等价性讨论
  §8.2  拓扑压的性质
    8.2.1  拓扑压的几个性质
    8.2.2  拓扑压的变分原理
  §8.3  平衡态
  §8.4  习题
参考文献