信息安全数学基础

本书系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。全书共分为6章：第1章是预备知识，介绍了书中后面几章所涉及的基础知识；第2章和第3章是数论基础，包括整数的因子分解、同余式、原根、二次剩余、数论的应用等内容；第4章是代数系统，包括群、环、域的概念，一元多项式环和有限域理论初步等内容；第5章是椭圆曲线，包括椭圆曲线的预备知识、椭圆曲线、椭圆曲线上的离散对数等内容；第6章是线性反馈移位寄存器，包括反馈移位寄存器、分圆多项式和本原多项式、ｍ序列等内容。书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。本书是高等学校信息安全专业本科生的教材，也可作为信息科学技术类专业（如计算机科学技术、通信工程和电子科学技术等）本科生和研究生的教材，同时，也可以供从事信息安全和其他信息技术工作的人员参考。

贾春福，男，博士后，南开大学信息技术科学院计算机科学与信息安全系副主任。主要研究领域涉及计算机网络与信息安全、可信计算、恶意代码分析和软件安全等领域。先后主持或参加国家攀登计划项目、国家“973”计划项目、“863”计划项目和国家自然科学基金项目8项；省部级科研项目等9项；获天津市自然科学二等奖1项。发表研究论文近百篇，其中70余篇分别被SCI和EI收录，100余篇次被国内、国际专著或论文引用。

第1章预备知识1
1.1集合、关系和函数1
1.1.1集合1
1.1.2关系6
1.1.3函数13
1.2组合数学初步知识19
1.2.1排列与组合19
1.2.2生成函数26
习题33
第2章数论基础（一）35
2.1整除35
2.1.1整除与带余除法35
2.1.2最大公因子与辗转相除法38
2.1.3连分数43
2.1.4算术基本定理50
2.1.5梅森素数和费马素数53
2.2同余55
2.2.1同余的概念和性质55
2.2.2剩余类和欧拉定理58
2.2.3线性同余方程63
2.2.4孙子定理与同余方程组67
2.2.5高次同余方程74
习题79
第3章数论基础（二）82
3.1原根82
3.1.1整数的次数82
3.1.2原根的概念86
3.1.3指数与ｎ次剩余92
3.2二次剩余96
3.2.1二次剩余的概念和性质96
3.2.2勒让德符号与二次互反律100
3.2.3雅可比符号106
3.3数论的典型应用109
3.3.1素性检验算法109
3.3.2因子分解算法115
习题117
第4章代数系统基础119
4.1群119
4.1.1群及其基本性质119
4.1.2子群123
4.1.3循环群和群的生成125
4.1.4陪集和拉格朗日定理128
4.1.5同态与同构130
4.1.6正规子群与商群134
4.1.7循环群的分类137
4.1.8置换群138
4.2交换环和域141
4.2.1交换环及其基本性质141
4.2.2域及其基本性质147
4.2.3同态与同构148
4.2.4一元多项式环150
4.2.5理想和商环151
4.3域上的一元多项式环156
4.3.1一元多项式的整除157
4.3.2一元多项式环的理想160
4.3.3域上一元多项式唯一分解定理161
4.3.4多项式不可约性检验162
4.3.5一元多项式的同余与商环164
4.4有限域理论初步165
习题169
第5章椭圆曲线171
5.1椭圆曲线的预备知识171
5.1.1仿射平面和射影平面171
5.1.2判别式、结式和代数不变量173
5.1.3一元三次方程的公式解——Cartan公式177
5.2椭圆曲线的概念178
5.2.1Weierstrass方程178
5.2.2椭圆曲线方程181
5.2.3椭圆曲线上点的加法群（MordellWeil群）182
5.2.4有限域上的椭圆曲线187
5.3离散对数初步191
5.3.1有限域上的离散对数191
5.3.2椭圆曲线上的离散对数193
习题194
第6章线性反馈移位寄存器196
6.1反馈移位寄存器196
6.1.1反馈移位寄存器简介196
6.1.2线性反馈移位寄存器简介197
6.1.3非线性组合移位寄存器简介198
6.2分圆多项式和本原多项式198
6.2.1分圆多项式198
6.2.2本原多项式202
6.3M序列205
6.3.1LFSR的特征多项式205
6.3.2m序列的产生条件207
6.3.3m序列的特点208
6.3.4m序列的破译210
习题212
参考文献213