数学物理方法

本书为普通高等教育“十五”国家级规划教材，主要包括复变函数与数理方程两部分。其中复变函数主要内容涉及复变积分、无穷级数、二阶线性常微分方程的幂级数解法、留数定理及其应用、拉普拉斯变换等；数理方程主要介绍了线性偏微分方程的通解、分离变量法、正交曲面坐标系、柱函数、积分变换的应用等内容。

本书包括复变函数与数理方程两部分，兼顾理论体系的完整与实用的解题技巧。在物理类数学物理方法教材的传统内容之外，增加了发级数与渐近级数、默比乌斯变换、经性偏微分方程的通解、三种基本类型数理方程解的定性性质、拉普拉斯算符的不变性等；补充了关于外微分运算、小波变换与非线性偏微分方程的简介；部分内容（如Γ函数及勒让德多项式）也采用一些新的讲法，并比较完整地给出了“分离变量法总结”订正了目前工具书中的几个特殊函数公式。介绍了计算机软件Marthematica在复变函数计算中的应用。附有习题与答案。

  吴崇试，1938年生，1962年毕业于北京大学物理系，北京大学物理系教授，博士生导师，享受政府特殊津帖。1996年被推举为高校教学物理方法教学研究会理事会主任委员。1998年被聘为北京大学主干基础课主持人。两度获得北京大学年度教学优秀奖。2003年《教学物理方法》课程被评为北京市高等学校精品课程，2004年评为国家级精品课程，并获得北京大学2004年教学成果奖一等奖和北京市2004年高等教育教学成果奖一等奖。

第一部分  复变函数
1  复数和复变函数
  1.1  预备知识：复数与复数运算
  1.2  复数序列
  1.3  复变函数
  1.4  复变函数的极限和连续
  1.5  无穷远点
  *1.6  正十七边形问题
  习题
2  解析函数
  2.1  可导与可微
  2.2  解析函数
  2.3  初等函数
  2.4  多值函数
  *2.5  解析函数的保角性
  习题
3  复变积分
  3.1  复变积分
  3.2  单连通区域的柯西定理
  3.3  复连通区域的柯西定理
  3.4  两个有用的引理
  3.5  柯西积分公式
  3.6  解析函数的高阶导数
  3.7  柯西型积分及含参量积分的解析性
  *3.8  泊松公式
  习题
4  无穷级数
  4.1  复数级数
  4.2  二重级数
  4.3  函数级数
  4.4  幂级数
  4.5  含参量的反常积分的解析性
  *4.6  发散级数与渐近级数
  习颢
5  解析函数的局域性展开
  5.1  解析函数的泰勒展开
  5.2  泰勒级数求法举例
  5.3  解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性
  5.4  解析函数的洛朗展开
  5.5  洛朗级数求法举例
  5.6  单值函数的孤立奇点
  5.7  解析延拓
  *5.8  伯努利数和欧拉数
  习题
6  二阶线性常微分方程的幂级数解法
  6.1  二阶线性常微分方程的常点和奇点
  6.2  方程常点邻域内的解
  6.3  方程正则奇点邻域内的解
  6.4  贝塞耳方程的解
  *6.5  方程非正则奇点附近的解
  习题
7  留数定理及其应用
  7.1  留数定理
  *7.2  有理三角函数的积分
  *7.3  无穷积分
  7.4  含三角函数的无穷积分
  *7.5  实轴上有奇点的情形
  *7.6  多值函数的积分
  *7.7  应用留数定理计算无穷级数的和
  *7.8  留数定理的其他应用
  习题
8  Γ函数
  8.1  Γ函数的定义
  8.2  Γ函数的基本性质
  8.3  ψ函数
  8.4  B函数
  *8.5  Γ函数的普遍表达式
  *8.6  Γ函数的渐近展开
  *8.7  几个特殊函数公式的订正
  *8.8  黎曼(函数和默比乌斯变换
  习题
9  拉普拉斯变换
  9.1  拉普拉斯变换
  9.2  拉普拉斯变换的基本性质
  9.3  拉普拉斯变换的反演
  9.4  普遍反演公式
  *9.5  利用拉普拉斯变换计算级数和
  习题
10  δ函数
  10.i δ函数
  *10.2  利用δ函数计算定积分
  *10.3  常微分方程初值问题的格林函数
  *10.4  常微分方程边值问题的格林函数
  *10.5  求解常微分方程的格林函数方法
  习题
*11  Mathematica中的复变函数
  *11.1  Mathematica扣的数及其运算
  *11.2  变量和函数
  *11.3  极限和微积分计算
  *11.4  幂级数张开与求和
  *11.5  求解微分方程
  *11.6  拉普拉斯变换和傅里叶变换
  *11.7  δ函数
  *11.8  Mathematica作图
    第二部分  数学物理方程
12  数学物理方程和定解条件
  12.1  弦的横振动方程
  12.2  杆的纵振动方程
  12.3  热传导方程
  12.4  稳定问题
  12.5  边界条件与初始条件
  12.6  内部界面上的连接条件
  t2.7  定解问题的适定性
  习题
*13  线性偏微分方程的通解
  *13.1  线性偏微分方程解的叠加性
  *13.2  常系数线性齐次偏微分方程的通解
  *13.3  常系数线性非齐次偏微分方程的通解
  *13.4  特殊的变系数线性齐次偏微分方程
  *13.5  波动方程的行波解
  *13.6  波的耗散和色散
  *13.7  热传导方程的定性讨论
  *13.8  拉普拉斯方程的定性讨论
  习题
14  分离变量法
  14.1  两端固定弦的自由振动
  14.2  分离变量法的物理诠释
  14.3  矩形区域内的稳定问题
  14.4  多于两个自变量的定解问题
  14.5  两端固定弦的受迫振动
  14.6  非齐次边界条件的齐次化
  习题
15  正交曲面坐标系
  15.1  正交曲面坐标系
  *15.2  正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符
  *15.3  拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性
  15.4  圆形区域
  15.5  亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量
  15.6  亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量
  *15.7  矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程
  习题
16  球函数
  16.1  勒让德方程的解
  16.2  勒让德多项式
  16.3  勒让德多项式的微分表示
  16.4  勒让德多项式的正交完备性
  16.5  勒让德多项式的生成函数
  16.6  勒让德多项式的递推关系
  16.7  勒让德多项式应用举例
  16.8  连带勒让德函数
  16.9  球面调和函数
  *16.10  连带勒让德函数的加法公式
  *16.11  超几何函数
  习题
17  柱函数
  17.1  贝塞耳函数和诺伊曼函数
  17.2  贝塞耳函数的递推关系
  17.3  贝塞耳函数的渐近展开
  17.4  整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示
  17.5  贝塞耳方程的本征值问题
  *17.6  汉克尔函数
  *17.7  虚宗量贝塞耳函数
  17.8  半奇数阶贝塞耳函数
  17.9  球贝塞耳函数
  *17.10  合流超几何函数
  附录  涉及贝塞耳函数的常微分方程
  习题
18  分离变量法总结
  *18.1  内积空间
  *18.2  函数空间
  18.3  自伴算符的本征值问题
  18.4  斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题
  18.5  斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象
  18.6  从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法
  习题
19  积分变换的应用
  19.1  拉普拉斯变换
  19.2  傅里叶变换
  *19.3  半无界空间的情形
  *19.4  关于积分变换的一般讨论
  *19.5  小波变换简介
  习题
20  格林函数方法
  20.1  格林函数的概念
  20.2  稳定问题格林函数的一般性质
  20.3  三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数
  20.4  圆内泊松方程第一边值问题的格林函数
  *20.5  波动方程的格林函数
  *20.6  热传导方程的格林函数
  习题
21  变分法初步
  21.1  泛函的概念
  21.2  泛函的极值
  21.3  泛函的条件极值
  21.4  微分方程定解问题和本征值问题的变分形式
  *21.5  变边值问题
  21.6  瑞利-里兹方法
  习题
22  数学物理方程综述
  22.1  二阶线性偏微分方程的分类
  22.2  线性偏微分方程解法述评
  22.3  非线性偏微分方程问题
  22.4  结束语
  习题
参考书目
外国人名译名中英对照表
习题答案