大学生数学竞赛习题精讲

本书是为大学生数学竞赛（非数学专业）编写的教学辅导教材，内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章，共约1200多道题，其中收集了自2009年至2015年的全国预决赛（非数学）和北京市竞赛的全部试卷。全部习题都附有较详细的解答。题目难度有一定的差异，以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。书中经典的基本题约占二分之一，且涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生，除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外，其他章节皆适用。此外，新版增加了相当数量的新题目，如“等周问题”、“圆周率是无理数”、“公路占地原理”、“优选熵原理”等，以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类，特色题大都给予命名并开列在目录中，以帮助读者归纳和查找，使该书的内容更加系统化。

本书是为大学生数学竞赛（非数学专业）编写的教学辅导教材，内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章，共约1200多道题，其中收集了自2009年至2015年的全国预决赛（非数学）和北京市竞赛的全部试卷。全部习题都附有较详细的解答。题目难度有一定的差异，以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。书中经典的基本题约占二分之一，且涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生，除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外，其他章节皆适用。此外，新版增加了相当数量的新题目，如“等周问题”、“圆周率是无理数”、“公路占地原理”、“优选熵原理”等，以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类，特色题大都给予命名并开列在目录中，以帮助读者归纳和查找，使该书的内容更加系统化。

陈兆斗，1950年生人，教授，理学硕士专业方向为函数论，计算方法中国地质大学（北京），信息工程学院教师在靠前外学术期刊发表了50余篇学术论文主编出版了三部有关高等数学的教材。

第1部分内容要点、例题、习题

第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.1.1内容要点

1.1.2例题选讲

1.1.3习题汇编
 内容分类
一般数列的极限
递推与迭代数列的极限
数列的收敛速度
数列极限的其他问题
函数极限
 特色题
数列极限的平均值例2
数列xn+1=c+xn的极限例3
用比值法或根值法求数列极限例5
lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7
用施笃兹定理求数列极限题3
用夹逼准则求数列极限题4
方程tanx=x相邻根差的数列极限题5
用单调有界原理求数列极限题22
数列的收敛速度题29，30，31
数列 sinnθ 的收敛性题33
方程ex+x2n+1=0根的数列极限题38
交叉迭代的数列极限题39，40
空间中4个点交叉迭代的点列极限题41
幂指型极限的等价无穷小代换题45
用微分中值定理求极限题46
函数 (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的极限题47
x→0+时函数 xxxx的极限题48
1.2一元函数的连续性

1.2.1内容要点

1.2.2例题选讲

1.2.3习题汇编
 内容分类
介值定理、零点定理与连续性
函数方程与连续性
连续函数的应用题
 特色题
2x的函数方程例1
椭圆的外切正方形例2
多项式的实零点与最值例3
连续性与不动点例4，题5，6
最大、最小函数的连续性题7
地球的同温点题13
陈家全的百米世界纪录题14
方桌的平稳摆放题16
“一刀二饼”问题题18
第2章一元函数微分学

2.1导数与微分

2.1.1内容要点

2.1.2例题选讲

2.1.3习题汇编
 内容分类
求导法
曲线的切线与法线
高阶导数
导函数的性质
 特色题
用递推公式求高阶导数例3，题21
导函数的极限定理例6
分段函数的导函数及其连续性例7
导函数的介值定理例8
函数行列式的导数题8，9
相关变化率题10，11
反函数的二三阶导数题22
导数不为零的函数是单调函数题25
导函数没有第一类间断点题26
重根与导函数题30
其他特色题题2，18（2），20
2.2微分中值定理与导数的应用

2.2.1内容要点

2.2.2例题选讲

2.2.3习题汇编
 内容分类
微分中值等式
泰勒公式与不等式
函数的单调性与不等式
函数的凹凸性与不等式
函数的极值与最值
 特色题
微分中值等式问题的一般性解法例2，题1~13
函数展开为泰勒公式的三种基本方法例4
用泰勒公式求极限例5，题23
泰勒公式与不等式例6，7
极值的高阶导数判别法例11
关于严格凹（凸）不等式例13
无穷区间上的罗尔定理题14，15，16
函数行列式的中值等式题17
多微分中值等式题18~21
若尔当不等式 2θπ≤sinθ≤θ题37
反函数的凹凸性题42
平均值不等式题48
柯西不等式题49
凹凸函数的最值题54
数列 {nn}的最大项题56
函数∑ni=1|x－ai|的最小值题57
伯努利不等式(1+x)α≥1+αx题59
其他特色题题39,40,41,45,47,62
2.3一元微分学综合题
 内容分类
函数方程与恒等式
中值定理与方程的根
 特色题
方程2x=x2+1仅有三个实根题15
多项式［(x2－1)n］(n)的实零点分布题20
多项式x3+bx+c实零点的个数题27
函数1+x+…+xn/n!的实零点题32
e是无理数题37
数列 {nsin(2πen!)}的极限题44
泰勒公式的中值极限题45
最大熵原理题49
公路上的选址问题与重心法题50
其他特色题题2,5,13,19,22,25,31,36,40

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.1.1内容要点

3.1.2例题选讲

3.1.3习题汇编
 内容分类
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
无理函数的积分
某些超越函数的积分
 特色题
有理函数积分的五个常见类型例1
三角函数有理式积分的常用换元法例2
函数系{Pn(x)eλx}对原函数的封闭性例8
非常规分解的有理函数的积分题2
∫tannxdx与∫sinnxdx的递推公式题4
∫cosmxsinnxdx的递推公式题6
用倒代换计算的积分题8
∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的积分题14
函数系{Pn(x)eaxcosbx+Qn(x)eaxsinbx}对原函数的封闭性题16
分段函数的原函数题19
3.2定积分

3.2.1内容要点

3.2.2例题选讲

3.2.3习题汇编
 内容分类
定积分与广义积分的计算
积分等式及变限积分
定积分的应用题
 特色题
某些定积分的简算例2，题1
连接两点的最短路径是线段例4
求变项和的极限例5，题10,11
定积分与微元法例6
图形绕斜轴的旋转体体积例7，题21
正交函数系题6,7
柱壳法求旋转体体积题20
椭圆外等距线的长度题24
其他特色题例3，题3,8(3,4),9,12,14,16,28
3.3定积分综合题
 内容分类
积分不等式
积分极限
 特色题
关于积分的柯西不等式题3
凹凸形函数的积分不等式与等式题11
积分极限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx题16
积分极限 limx→+∞∫x0|sint|dt/x题20
原函数的奇偶性和周期性题25
圆周率π是无理数题26
最大微分熵题28
其他特色题题2,12,13,14,22,27,31

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.1.1内容要点

4.1.2例题选讲

4.1.3习题汇编
 特色题
下料问题例1
曲面上的蚂蚁寻路问题例2，题1
正劈锥的参数方程例3
默比乌斯带的参数方程例5
一般旋转曲面的参数方程例6
单叶双曲面是直纹面题3
齐次函数与锥面方程题6
礼花绽放题15
其他特色题题9，13
4.2多元函数的极限、连续与微分

4.2.1内容要点

4.2.2例题选讲

4.2.3习题汇编
 内容分类
多元函数的极限与连续
偏导数与全微分
隐函数的一阶偏导数
高阶偏导数
综合题
 特色题
x2+y2的方向导数与偏导数例4
已知全微分求原函数例7，题8
高阶偏导数例10，题16
解偏微分方程例11，题24，25
调和函数题19,20
齐次函数题23
其他特色题例8，题15，22
4.3多元函数微分学的应用

4.3.1 内容要点

4.3.2例题选讲

4.3.3习题汇编
 内容分类
几何应用
多元函数的极值与最值
综合题
 特色题
曲线簇的包络线例2，题5,6
等距线例3，题8
最远（近）点的垂线原理例5，题19,20
一个非常规的切线问题题2
椭球面的切线束题9
柱面方程的特征题10
发电厂的选址问题题24
其他特色题题16,23
第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.1.1内容