线性代数

本书结合大量应用和实例详细介绍线性代数的基本概念、基本定理与知识点，主要内容包括：矩阵与方程组、行列式、向量空间、线性变换、正交性、特征值和数值线性代数等。为巩固所学的基本概念和基本定理，书中每一节后都配有练习题，并在每一章后提供了MATLAB练习题和测试题。

Steven J.Leon，1971年于密歇根州立大学数学系获得博士学位，现为马萨诸塞大学达特茅斯分校数学系首席教授，ILAS(靠前线性代数协会)、MAA(美国数学学会)SIAM(美国工业与应用数学协会)成员。他主要从事科学计算、线性代数和应用数学等领域的研究。

前言
第1章矩阵与方程组1
1.1线性方程组1
1.2行阶梯形11
1.3矩阵算术27
1.4矩阵代数46
1.5初等矩阵60
1.6分块矩阵70
练习80
第2章行列式87
2.1矩阵的行列式87
2.2行列式的性质94
2.3附加主题和应用101
练习109
第3章向量空间112
3.1定义和例子112
3.2子空间119
3.3线性无关130
3.4基和维数141
3.5基变换147
3.6行空间和列空间157
练习165
第4章线性变换169
4.1定义和例子169
4.2线性变换的矩阵表示178
4.3相似性192
练习198
第5章正交性201
5.1Rn中的标量积202
5.2正交子空间217
5.3最小二乘问题225
5.4内积空间238
5.5正交集247
5.6格拉姆–施密特正交化过程266
5.7正交多项式275
练习283
第6章特征值287
6.1特征值和特征向量288
6.2线性微分方程组301
6.3对角化312
6.4埃尔米特矩阵330
6.5奇异值分解342
6.6二次型356
6.7正定矩阵370
6.8非负矩阵377
练习387
第7章数值线性代数395
7.1浮点数396
7.2高斯消元法404
7.3主元选择策略409
7.4矩阵范数和条件数415
7.5正交变换429
7.6特征值问题440
7.7最小二乘问题451
练习463
附录MATLAB471
参考文献483
部分练习参考答案486

前    言我非常欣喜地看到本书已经出版到了第9版.大量读者的持续支持和热情让我深受鼓舞.现在线性代数的重要性日益凸显，其应用领域也越来越广泛.这在很大程度上是由于过去75年来计算机技术的革命，线性代数在数学课程中的地位已经上升到与微积分同样重要了.同时，现代软件技术为改进线性代数课程的教学方法提供了可能.本书的第1版出版于1980年.第2版（1986年）中做了很多重要的调整，特别是大大扩展了练习部分，并大幅调整了线性变换章节的内容.此后的每一个版本都有着显著的变化，包括增加MATLAB计算机练习，大量增加应用的数量，多次改变本书不同章节的顺序等.非常幸运的是，我遇到了很多杰出的审稿人，他们的建议使得本书进行了很多重要的改进.就第9版而言，对以前各个版本中都没有进行主要修正的第7章予以了特别的关注.第9版中的更新内容1. 在第3章中增加了新的小节3.2节讨论了子空间的问题.当我们求得了齐次线性方程组的解后，给出了一个子空间的重要例子.这种子空间称为零空间（null space）.新增加的小节用以说明零空间对于求解非齐次线性方程组的解集也是非常有用的.该小节中包括了新的定理和用来从几何方面描述定理的新图形.3.2节练习的最后增加了三个相关的问题.2.第1、5、6和7章中增加了新的应用在第1章中，我们引入了管理科学领域的一个重要应用.管理决策通常涉及在一些可选项中进行选择.我们假设这些选择在头脑中有着固定的目标，并基于一组评估的标准.这些决策通常包括一些并不一定完全相容的人的判断.层次分析法是一种评估不同可选项的方法，其使用一个包含加权标准和对每一个可选项满足标准的程度进行评估的图表.第1章中，读者会看到如何设置这个图表或分析过程中的决策树.在对图表中的每一项进行了加权和评估后，对所有可选项的总体评估就可以使用简单的矩阵向量运算进行计算了.第5章和第6章中，我们将回顾该应用，并使用更为高级的矩阵方法来探讨如何确定决策过程中合适的权重和评估.最后，在第7章中，我们给出一个数值算法来计算决策过程中的权重向量.3. 修订了7.1节并增加了两个小节重新修正了7.1节以适应时代的需要.增加了关于IEEE浮点数表示法以及数值算法的精度和稳定性的两个小节.有关这些内容的例子和练习也相应进行了增补.4. 修订了7.5节修订并扩展了对豪斯霍尔德（Householder）变换的讨论.增加了一个新的小节，在该小节中探讨了使用QR分解法求解线性方程组的问题.有关该内容的练习也进行了增补.5. 修订了7.7节7.7节探讨求解最小二乘问题的数值方法.修订了该节内容，并增加了一个使用改进的格拉姆施密特方法求解最小二乘问题的小节.在该小节中包含了一个新的算法.内容概要本书不但适用于低年级的学生，同时也适用于高年级的学生.学生应熟悉微分和积分的基本知识，即学过一个学期的微积分课程.若本书作为低年级课程的教材，教师应花更多的时间在前面的章节中，并略去后面的很多章节.对更为高级的课程，可以快速浏览前两章中的很多主题，然后较为完整地讲述后面的章节.本书内容讲解细致，初学者在阅读和理解这些材料时不会有什么问题.为进一步帮助学生，书中还给出了大量的例子.每一章后面的计算机练习有助于学生进行数值计算，学生还可尝试将这些结果进行推广.另外，本书中包含很多应用问题，这些应用问题有助于学生开拓思路并理解学过的相关内容.本书中包含了美国国家科学基金（NSF）发起的、线性代数课程研究小组（LACSG）推荐的所有内容并有所补充.尽管有很多材料无法包含在一学期的课程中，但本书内容相对独立，教师可以很容易略过不需要的材料.此外，学生可以将本书作为参考，并自学略过的主题.后面给出了针对不同课程的推荐教学大纲.理论上讲，本书内容可在两学期内讲授.尽管LACSG建议线性代数课程要上两个学期，但这在很多大学中并不现实.目前对中级课程还没有一个公认的核心教学大纲.事实上，如果教师希望中级课程的所有内容能编写在一本书中的话，则这本书将非常厚重.本书尽力覆盖了现代应用问题中需要的所有线性代数基本主题.此外，对中级课程还附加了两个可以从网上下载的章节：    http://pearsonhighered.com/leon建议的教学大纲I. 两学期课程在两个学期的教学中，可以包含本书所有的40节.还可以包含一次额外的课来演示如何使用MATLAB软件.II. 低年级学生的一学期课程A. 低年级的基本课程    第1章  1.1～1.6节    7讲    第2章  2.1～2.2节    2讲    第3章  3.1～3.6节    9讲    第4章  4.1～4.3节    4讲    第5章  5.1～5.6节    9讲    第6章  6.1～6.3节    4讲    总计  35讲B. LACSG以矩阵为主的课程线性代数课程研究小组推荐的核心课程中仅包含欧几里得向量空间.因此，对该类课程，可以忽略3.1节（这是关于一般向量空间的内容）以及第3章到第6章中涉及函数空间的所有内容和练习.本书包含了LACSG核心教学大纲中的所有内容，无需再引入其