数学

“如果你曾经认为数学和艺术没有交集，那么这本书将会令你对几何学视觉艺术的历史从震惊到刮目相看。本书涉及美丽几何学及数学相关的艺术品的书籍超过了60种，配备了大量的细腻诠释几何理论的插图，其后还有大量引人入胜的历史故事和人物介绍，并从尺规作图到神奇的结构配置上涵盖了多种学科知识。本书中，瑞士艺术家EugenJost将受人尊敬的数学历史学家的文献积累进行了卓有成效的艺术加工，用翔实的解释说明贯穿了几何学作为数学重要和美丽的分支的2500年的历史，全文为读者呈现了一个独一 无二的几何盛宴，其结果是令人欣喜”

伊莱·马奥尔，有名科普作家，以色列理工学院博士，曾在芝加哥洛约拉大学教授数学史课程。

译者的话
前言
1米利都学派的泰勒斯
2面积相等的三角形
3四边形
4完全数和三角数
5毕达哥拉斯定理Ⅰ
6毕达哥拉斯定理Ⅱ
7毕达哥拉斯三元数组
82的平方根
9所有种类的平均数
10更多平均值
11欧几里得的两个定理
12形式不同，本质相同
13一个定理，三种证明
14素数
15两个素数谜团
160.999…=？
1711
18欧几里得作图
19六边形
20斐波那契数列
21黄金比例
22正五边形
23正17边形
2450
25倍立方
26化圆为方
27阿基米德测圆术
28数字猎人
29圆锥曲线
303／3=4／4
31调和级数
32塞瓦定理
33自然对数底数e
34等角螺线
35摆线
36外摆线和内摆线
37欧拉线
38反演变换
39斯坦纳系
40线路设计
41法国连接
42所闻即所见
43利萨茹图形
44对称性Ⅰ
45对称性Ⅱ
46勒洛三角形
47皮克定理
48萸雷定理
49雪花曲线
50谢尔宾斯基三角形
51超越极限
附录：书中所提及定理的证明
参考文献

透过数学的视角认知艺术伊莱·马奥尔毫无疑问， 很多人都不会赞同艺术与数学有交集。他们认为， 艺术是用来表达感情、情绪和印象的， 这是艺术家们所理解的主观世界， 而数学恰恰是完全对立的， 冷峻、理性和没有情感的， 但我想说， 这种观念是错误的。    事实上， 早在文艺复兴时期， 人们就已经发现数学和艺术不仅融合在一起，并且被认为在人类思维上是互为补充的。特别地， 达·芬奇、米开朗基罗和阿尔布雷特·丢勒等文艺复兴时期的大师们， 如同认为自己是艺术家一样，同样也认为他们自己是建筑师、工程师和数学家。    如果仅指出数学和艺术的一个共同点， 那么应该是它们在对图案、循环与规则方面的共同探索。一位数学家看到表达式ａ２ ＋ｂ２， 会立即联想到勾股定理， 即直角三角形是由包含垂直两边的三边包围成的图形。但是这种表达不仅局限于几何方面， 它几乎出现在数学的每一个分支领域里， 从数论、代数到微积分与数学分析， 它即定为一个图案或模式。同样地， 当一个艺术家看到一幅壁画设计的时候， 图形仿佛在无限重复着， 循环着它基础的样子，成为一个图案刻在他的脑海里。对于图案模式的探索确实是联系数学和艺术的一条纽带。    写作这本书的想法始于２００９ 年５ 月， 我的好朋友Ｒｅｎｙ Ｍｏｎｔａｎｄｏｎ 为我安排了一个在瑞士Ａｌｔｅ Ｋａｎｔｏｎｓｓｃｈｕｌｅ 学校（前Ｃａｎｔｏｎａｌ 高级中学） 高级数学班的讲座。这所学校因一段历史事件而闻名， 那就是１６ 岁的阿尔伯特·爱因斯坦正是在这里度过了两年的快乐时光。为了逃避他所厌恶的、过多的家庭专制教育， 他主动选择在这所学校读书。爱因斯坦就读时期的建筑仍然保存完好， 它的旁边又新建了一座现代风格的建筑。一次午餐的时候， 我和我的妻子有幸见到了尤金·约斯特。    在我们共同的朋友Ｒｅｎｙ Ｍｏｎｔａｎｄｏｎ 的引荐下， 我对尤金与数学相关的优秀艺术作品已经十分熟悉， 然而面晤他又给了我另一惊喜， 我们一见如故，偶遇碰撞出的火花促使我们一起合作了这本书。让我们深感遗憾的是，  Ⅶ  Ｒｅｎｙ Ｍｏｎｔａｎｄｏｎ在本书即将完稿之时， 却意外去世了。在他生前最后一天，尤金还打电话告诉他这本书的最新进展， 他知道后非常高兴。不幸的是， 他没能看到这本书付梓出版。    本书力求简单和通俗。每一个主题———定理， 数列， 或有趣的几何图案都附注了文字说明， 并配有一个或多个Ｅｕｇｅｎ 的艺术插图。本书的大部分主题取材于几何， 少部分取材于算术和算术的发展。本书大部分章节之间都是相互独立的， 所以读者可以根据自己的兴趣来选择阅读而不受阅读的连续性所影响， 并且大部分内容是按照时间顺序排列的， 但是偶尔也把与数学主题中相互关联的章节放在一起。我们尽量回避技巧性较强的证明过程， 并把一些证明细节放到书末的附录中， 有些内容我们仅列出参考资料（如果已经在参考文献栏中， 我们只标注书名和作者的姓名）。因此， 这本书可以看作是一部通俗意义上的几何史， 当然肯定是不完整的。    我们希望能让更多的人来阅读本书， 包括高中生和大学生， 中学的数学和科学老师， 以及大学讲师， 还有那些对偶尔出现的公式或方程并不惧怕的非专业人员。基于这一目标， 我们只涉及了初等代数和初等几何等的相关知识（ “初等” 是指不涉及微积分）。我们希望这本书能鼓励读者去欣赏数学的美， 特别是几何的美。    在本书的撰写过程中， 许多人热情地帮助了我们， 在此表示衷心的感谢， 特别要感谢的是给我们致信的普林斯顿大学出版社的编辑Ｖｉｃｋｉｅ Ｋｅａｒｎ，他持续的热情和支持一直激励着我们完成此书； 感谢普林斯顿大学出版社的其他编辑和技术人员， 正是他们的努力确保了这本书面世时能够达到极致的审美标准和艺术高度； 也感谢我的儿子Ｄｒｏｒ 在插图２６ 中用希伯来语书写相关文字时提供的技术支持； 最后， 我需要感谢我的妻子Ｄａｌｉａ， 感谢她提出了很多建设性的批评意见， 并且还一丝不苟地为我校对手稿。在这个过程中，她一直鼓励我， 给了我很多帮助。    前言    Ⅷ  玩转图案、数字和表格尤金·约斯特我的艺术生涯主要围绕图案、数字和表格。我喜欢和它们一起娱乐并解释它们， 让它们的变形丰富多样。我的座右铭是毕达哥拉斯的名言： 万物皆数； 这是我２００８ 年与我的朋友Ｐｅｔｅｒ Ｂａｐｔｉｓｔ 和Ｃａｒｓｔｅｎ Ｍｉｌｌｅｒ 所做项目的早期标题。本书吸收了那项工作中的一些想法， 但设想有些不同。我们在此努力地用艺术的方式描述各式各样的几何理论， 与此同时保持数学的真谛。    编写这本书时， 我的脑海里经常浮现欧几里得的理论： 点是没有大小的， 线是有长度没有宽度的。尽管这样， 阿基米德仍然在锡拉库扎的沙滩上用手指画出了他的粗线圆盘。如今， 要满足欧几里得条件的要求就更容易了： 只要你点击鼠标， 就可以将一条长线段缩减到无穷窄———直到最后只有一条虚拟的轨迹。发明此构造的过程是令人敬畏的， 或者更应该说是发现！    尤其对两千年前的希腊人更是这样。    对于我而言， 跟数字和图案一起玩是我最优先考虑的事情。我把我的图片作品称为游乐场， 这与瑞士艺术家Ｍａｘ Ｂｉｌｌ 的名言： “具体艺术的目标是为了精神需求去发现对象， 这和人们为了物质需要而创造物体是如出一辙”。    我们这本书的一些插图可以用这样的视角去欣赏。读者将被邀请做以下事情： 发现图案的插图规则和它们的多种变形的机理， 去创造属于读者自己的图案。在某些章节中， 文本与图案之间的关系是不紧密的； 除这些章节外，艺术家们成功地将图案与Ｅｌｉ 的文本紧密结合起来。大部分插图是我用计算机创作的， 其他的是在画布上做的丙烯画。与Ｅｌｉ 在一起工作很开心， 他和其他数学家一样教会了我很多东西， 数学并不是从天而降的， 它是人类科学研究的结果， 其中有很多的故事。数学是哲学、历史、也是文化。希望读者能赞同我的观点。