线性代数及其应用

本书是一本很好的现代教材，给出新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。与以前的版本相比，第4版增加了两张内容——几何向量空间和有限状态马尔可夫链，新增和更新了25%以上的习题，而且在网上为学生和教师提供了进一步的技术支持。

戴维 C.雷，在美国加利福尼亚大学获得硕士和博士学位。他是马里兰大学帕科学院数学系教授。同时还是阿姆斯特丹大学、阿姆斯特丹自由大学和德国凯泽斯劳滕大学的访问教授。戴维 C.雷教授是“线性代数课程研究小组”的核心成员，发表了30多篇关于泛函分析和线性代数方面的论文，并与他人合著多部数学教材。

译者序
关于作者
前言
给学生的注释
第1章线性代数中的线性方程组
介绍性实例经济学与工程中的线性模型
1.1线性方程组
1.2行化简与阶梯形矩阵
1.3向量方程
1.4矩阵方程
1.5线性方程组的解集
1.6线性方程组的应用
1.7线性无关
1.8线性变换介绍
1.9线性变换的矩阵
1.10经济学、科学和工程中的线性模型
补充习题
第2章矩阵代数
介绍性实例飞机设计中的计算机模型
2.1矩阵运算
2.2矩阵的逆
2.3可逆矩阵的特征
2.4分块矩阵
2.5矩阵因式分解
2.6列昂惕夫投入产出模型
2.7计算机图形学中的应用
2.8?n的子空间
2.9维数与秩
补充习题
第3章行列式
介绍性实例随机过程和畸变
3.1行列式介绍
3.2行列式的性质
3.3克拉默法则、体积和线性变换
补充习题
第4章向量空间
介绍性实例空间飞行与控制系统
4.1向量空间与子空间
4.2零空间、列空间和线性变换
4.3线性无关集和基
4.4坐标系
4.5向量空间的维数
4.6秩
4.7基的变换
4.8差分方程中的应用
4.9马尔可夫链中的应用
补充习题
第5章特征值与特征向量
介绍性实例动力系统与斑点猫头鹰
5.1特征向量与特征值
5.2特征方程
5.3对角化
5.4特征向量与线性变换
5.5复特征值
5.6离散动力系统
5.7微分方程中的应用
5.8特征值的迭代估计
补充习题
第6章正交性和最小二乘法
介绍性实例北美数据GPS导航
6.1内积、长度和正交性
6.2正交集
6.3正交投影
6.4格拉姆-施密特方法
6.5最小二乘问题
6.6线性模型中的应用
6.7内积空间
6.8内积空间的应用
补充习题
第7章对称矩阵和二次型
介绍性实例多波段的图像处理
7.1对称矩阵的对角化
7.2二次型
7.3条件优化
7.4奇异值分解
7.5图像处理和统计学中的应用
补充习题
第8章向量空间的几何学
介绍性实例柏拉图多面体
8.1仿射组合
8.2仿射无关性
8.3凸组合
8.4超平面
8.5多面体
8.6曲线与曲面
附录A简化形阶梯矩阵的唯一性
附录B复数
术语表
奇数习题答案

前    言学生和教师对本书前三版本的反响十分令人满意. 第4版在第3版的基础上为课程教学和软件技术应用提供了更多支持. 像以前一样，本书给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，使得已完成大学第二学期数学课程（如学完微积分）的学生容易接受.本书的主要目的是帮助学生掌握以后课程学习所需要的基本概念和基本技能，教材的选题是根据“线性代数课程研究小组”的建议，该建议基于认真分析学生的实际需要和许多不同专业使用线性代数知识的共同点而提出. 希望这门课能够成为对大学生最有用和最有趣的数学课程之一.新增内容本版的主要目的是修订习题和拓展应用范围，这里既包括书中内容也包括网上资源。    1）超过25%的习题是新增或修改的，尤其是计算习题. 习题的设置仍然是这本书最具特色的内容之一，并且新习题保持着与前三版一样的高标准. 精选的习题用于复习每个章节的所学内容，激发学生的学习兴趣，开拓新的思路，培养他们的自信心.2）每章开头的25%是新内容. 这部分给出一个线性代数应用的简短介绍，由此引出数学理论的发展. 在该章结束的部分又回到开始提到的应用.3）新增的章：第8章（向量空间的几何学），提供了一个学生很感兴趣的新主题. 8.1节、8.2节和8.3节介绍基础几何学工具. 8.6节用这些思想和方法研究贝塞尔曲线和曲面，并把它们用于工程和在线计算机绘图（Adobe Illustrator和Macromedia FreeHand）上，这四节内容大约需要4或5个课时（每课时50分钟）.通常，本书的后续章节都会先对前一章节的关键思想、要点内容进行复习. 如果第8章部分视为前一章节，那么后继章节就会简要回顾8.1～8.3节的内容，然后重点介绍8.4节和8.5节的几何学.4）学习指导是本书不可或缺的一部分，这部分都已作了修订，包括新的第8章. 同以前的版本一样，学习指导包含三分之一奇数号习题的全部详细解答，并对书中仅给出提示的奇数号习题也给出了解.鲜明的特色提前介绍重要概念本书前7章介绍了许多建立在? n上的线性代数基本概念，然后从不同的观点逐步深入讨论. 接下来，用第1章给出的熟悉思想的自然扩展来泛化这些概念. 我认为，本教材的主要特色是全书的难度一样.矩阵乘法的现代观点好的记号是关键，且教材反映科学家和工程师实际应用线性代数的方式. 本书在定义和证明中处理的是矩阵的列，而不是矩阵的元素，核心课题是将矩阵向量乘积Ax作为关于A的列的一个线性组合. 这种现代方法简化了许多论述，且将向量空间思想和线性系统的研究联系在一起.线性变换用线性变换作为线索贯穿整本教材，这增强了本书的几何趣味. 例如，在第1章，线性变换给出一个动态的和几何观点下的矩阵向量乘法.特征值和动力系统特征值的概念出现在第5章和第7章. 由于这一内容分散在数周的教学中，学生会比平常更容易吸收和复习这些关键概念. 特征值来源并应用于离散动力系统和连续动力系统，相关内容出现在1.10节、4.8节、4.9节和第5章的五节中. 在授课时可以选择不讲授第4章，而是在讲完2.8节和2.9节的内容以后直接进入第5章的学习. 这两节可选的学习内容给出了第4章中出现的向量空间的概念，为第5章的学习奠定了基础.正交性和最小二乘法与普通入门教材相比，本书对这些主题的讨论更全面. “线性代数课程研究小组”强调需要正交性和最小二乘问题的内容，这是由于正交性在计算机计算和线性代数的数值计算中起着重要作用，且实际工作中经常会出现不相容的线性方程组.教学的特色应用广泛选取的应用说明了线性代数的作用，可以用于工程学、计算机科学、数学、物理学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和简化计算. 一些应用出现在单独的章节中；其他的应用是作为例题和习题而引入的. 此外，每一章的开头给出一个线性代数应用的简短介绍，由此引出数学理论的发展. 然后，在该章结束的部分又回到开始提到的应用.重点强调几何特点由于许多学生更容易接受形象化的概念，所以对书中的每个主要概念都给出几何解释. 本书包含较多的几何图形，且一些图形是以前的线性代数教材中没有出现过的.例题与大多数线性代数教材相比，本书有更多的例题，比平常课堂上更多. 由于例题清晰，步骤详细，因此学生可以自学.定理和证明重要的结果以定理的形式给出，其他有用的事实放在方框中，便于参考. 大多数定理有正式证明，写法易于理解. 在少数情形中，仔细选取的例题证明中展示了基本计算过程. 一些常规的验证保留在习题中，这对学生是有益的.练习题在习题之前有几个仔细选取的练习题，其解答在习题之后给出. 这些练习题或者集中于习题中的潜在难点，或者给出做习题前的“热身”，且解答常包含有用的提示.习题提供的大量习题包含平常的计算题和需要深入思考的概念题，一些习题针对多年来我在学生作业中发现的概念难点. 每一个习题都按照课本中内容的顺序仔细排列；这样当每节的一部分内容讲授之后，就可以安排家庭作业. 习题的一个显著特色是数值计算不复杂，问题很快被“展开”，学生在数值计算上花费时间很少，习题主要是为了让学生理解教学内容而不是进行机械计算.标有符号[M]的习题说明该题需要借助“矩阵软件”（计算机软件，如MATLAB、Maple、Ma