从代数基本定理到超越数

本书分为四个部分，共计十四章，如“从自然数系到有理数系”、“无理数与实数系”、“代数、基本定理的定性说明”、“业余数学家阿尔岗的证明”、“美国数学家安凯屈的证明”、“圆周率及其元理性”、“自然对数的底数e及其元理性”、“有关多项式的一些理论”、“代数扩域、有限扩域与代数元域”等。

冯承天，著有《从一元一次方程到伽罗瓦理论》、《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理——细说五次方程无求根公式》；译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的zhongji结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

第1部分从求解多项式方程到代数基本定理
第1章从自然数系到有理数系
1.1自然数系与一元一次方程的求解
1.2有理数与循环小数
1.3可公度线段
第二章无理数与实数系
2.1无理数和不可公度线段
2.2黄金分割与黄金三角形
2.3黄金矩形
2.4兔子繁殖与黄金分割
2.5斐波那契数列的通项公式——比奈公式
第三章复数系与代数基本定理
3.1二元数与复数系
3.2数域的概念
3.3代数基本定理
3.4复数域是代数闭域
第二部分代数基本定理的证明
第四章代数基本定理的定性说明
4.1复平面中的一些圆周曲线
4.2多项式函数及其缠绕数
4.3缠绕数的一个重要性质
4.4r极大与极小时的两个极端情况
第五章业余数学家阿尔岗的证明
5.1考虑|p(z)|的最小值
5.2计算|p(z0+ζ)|等
5.3对qζν(1+ζξ)的讨论
5.4反证法：证明了代数基本定理
第六章美国数学家安凯奈的证明
6.1复变函数论中的解析函数
6.2柯西-黎曼定理
6.3连续复函数的线积分
6.4微积分学中的格林定理的回顾
6.5柯西积分定理
6.6安凯奈的思路
6.7(z)的两个特殊线积分
6.8两个不相等的积分
第三部分圆周率π和自然对数底e,及其无理性
第七章圆周率π及其无理性
7.1刘徽割圆与圆周率π
7.2π是一个无理数
第八章自然对数的底e及其无理性
8.1自然对数的底e与一些重要的公式
8.2一些重要的应用
8.3欧拉数e是一个无理数
第四部分有关多项式与扩域的一些理论
第九章有关多项式的一些理论
9.1数系S上的多项式的次数与根
9.2数系S上的可约多项式与不可约多项式
9.3多项式的可除性质
9.4多项式的因式、公因式与公因式
9.5多项式的互素与贝祖等式
9.6贝祖等式的一些应用以及多项式因式分解定理
9.7高斯引理
9.8整系数多项式的可约性性质
9.9艾森斯坦不可约判据
9.10多元多项式与对称多项式
9.11初等对称多项式
9.12对称多项式的基本定理
9.13由对称多项式基本定理得出的一个有重要应用的定理
9.14关于多项式根的两个重要的推论
第十章有关扩域的一些理论
10.1数域的另一个例子
10.2扩域的概念
10.3要深入研究的一些课题
10.4域上的代数元以及代数数
10.5代数元的最小多项式
10.6互素的多项式与根
10.7代数元的次数以及代数元的共轭元
10.8代数元域
10.9单代数扩域
10.10添加有限多个代数元
10.11多次代数扩域可以用单代数扩域来实现
第五部分代数扩域、有限扩域以及尺规作图
第十一章代数扩域、有限扩域与代数元域
11.1代数扩域
11.2代数元集合A成域的域论证明
11.3扩域可能有的基
11.4有限扩域
11.5维数公式
11.6有限扩域的性质
11.7代数元域是代数闭域
第十二章扩域理论的一个应用——尺规作图问题
12.1尺规作图的公理与可作点
12.2可作公理的推论
12.3可作数与实可作数域
12.4所有的可作数构成域
12.5可作数扩域
12.6可作实数域中的直线与圆的方程
12.7尺规作图给出的新可作点
12.8尺规可作数的域论表示
12.9三大古典几何问题的解决
第六部分π以及e是超越数
第十三章超越数的存在与刘维尔数
13.1再谈代数元与超越元
13.2两个有趣的例子
13.3无穷可数集合
13.4有理数域Q是可数的
13.5康托尔的对角线法：实数域R是不可数的
13.6代数数的整数多项式定义及相应的最低次数的本原多项式
13.7代数数域是可数的
13.8存在超越数
13.9刘维尔定理
13.10刘维尔数ξ是超越数
13.11超越数的另一例
第十四章π以及e是超越数
14.1一次代数数的一般形式
14.2二次实代数数的一般形式
14.3e不是二次实代数数
14.4e是超越数
14.5π是超越数
14.6超越数的一些基本定理
14.7超越扩域、代数扩域，以及有限扩域
14.8尾声——希尔伯特第七问题以及盖尔方德-施奈德定理
附录
附录1比奈公式以及常系数线性递推数列
附录2线性方程组求解简述
参考文献

前  言    学非探其花，要自拨其根.    ——〔唐〕杜牧《留诲曹师等诗》    简略地说，本书讨论了“代数基本定理”、“圆周率π既是无理数又是超越数”，以及“自然对数的底e既是无理数又是超越数”这三大数学课题.为此我们讨论了数系的扩张、复数的应用、解析函数的积分、多项式理论、扩域理论、代数数论，以及康托尔的对角线方法等.当然，随之就有不少的“副产品”，如： 对称多项式基本定理、代数元域、尺规作图，以及三大古典几何难题等.    代数基本定理——n（>0）次复系数多项式方程有n个复数根，是1799年高斯在他的博士论文中首次较严格地证明的.高斯以后的数学家们用了一百多种不同的方法证明了该定理，这足以说明该定理在代数学上的重要性.在本书中，我们用三种不同的方法或阐明或证明了这一定理.    关于圆周率π，我们应用了我国魏晋时数学家刘徽的光辉的割圆术思想证明了它是一个与圆半径无关的常数，然后先证明它是一个无理数，并最终证明了埃尔米特定理： π是一个超越数.    对于自然对数的底e，我们先从它的极限定义出发得出了有关它的一些重要公式及应用，接着再证明它是一个无理数，并最终证明了林德曼定理： e是一个超越数.    为了能与广大数学爱好者一起学习这些重大定理，以及为了证明它们所必须研读的经典数学中的一些精彩内容，并与大家一起分享其中的数学之美，笔者撰写的这本书起点较低，从数系的扩张和运算讲起；把有关的多项式理论与域的理论尽量讲得详尽且深入浅出；书中包括许多实例和应用，可供读者消化、推敲和练习，而且尽力做到前呼后应.为了克服论述这些专题的各种文献中的种种晦涩难懂、叙述过简与不清，我们用一种“详述”的方式，同时也尽量使本书在数学内容上自成体系.    不过，笔者还是在书后的参考文献中列出了笔者在研读这些专题和撰写本书时读过的部分好书与文献，希望对那些想继续深入研究的读者有所帮助.    一系列的数学实践使笔者深信，一位有高中数学基础且掌握微积分初步概念的读者，只要勤于思考，一定能理解书中的这些在其他数学分支中也极有用的基础数学知识和定理，从而提高自己的数学修养；只要乐于思考，也就一定能掌握本书中所使用的数学方法，同时给自己带来数学之美的享受.    最后，感谢首都师范大学栾德怀教授的长期关心、教导和鞭策.感谢上海师范大学数学系陈跃副教授，他推荐了许多参考资料，仔细审读了手稿，并提出了许多宝贵的意见和建议.感谢华东师范大学出版社的王焰社长及各位编辑，他们为本书的出版给予极大的支持与帮助.    希望本书能成为广大数学爱好者学习和掌握上述课题的可读性较强的读物，也极希望得到大家的批评与指正.    2016年8月于上海师范大学