应用随机过程模型和方法/龚光鲁

本书着重于给读者提供随机过程的基本概念、思想与规律，以及这些概念、思想在应用问题中的简化模型。进而，在较为广泛的各领域中给出一些简化的应用实例。本书首先介绍随机徘徊和泊松过程，以及这两种很简单、很典型的随机过程在某种意义下的推广——马尔可夫链、布朗运动。之后讨论时间序列以及在信号的统计分析中有许多成功应用的泊松点过程。很后给出随机过程在金融与精算领域的一些成功应用。本书旨在为具有高等数学与初等概率论知识的读者，提供开始学习应用随机过程的教程，使其初等概率论的思维与随机建模接轨，因此适合统计学、信息科学、计量经济学、数学等专业的高年级本科生和一年级研究生用作教材。

龚光鲁，清华大学教授。博士生导师，靠前引进随机微分方程的先驱。1959年毕业于北京大学数学力学系，获得过教委科技进步二等奖，曾为中国概率统计学会常务理事。在靠前外重要杂志上发表论文四十余篇。著有《随机微分方程引论》《随机过程论》《应用随机过程论》等十多部专著与教材。

目录
前言
符号说明
第1章随机徘徊和随机过程的概念
11简单随机徘徊模型与随机过程的概念
111简单随机徘徊的均值、方差以及协方差
112随机过程的定义和独立增量过程
12随机徘徊的变种
121具有吸收壁的简单随机徘徊
122具有反射壁的简单随机徘徊
习题
第2章泊松过程
21泊松过程
211泊松过程——模型和普适性
212泊松过程在随机选取下的不变性
22非时齐泊松过程
221非时齐泊松过程在随机选取下的不变性
222具有有界强度函数的非时齐泊松过程的随机模拟
23复合泊松过程与条件泊松过程
231复合泊松过程
232条件泊松过程
习题
第3章离散时间马尔可夫链
31离散时间马尔可夫链的概念与统计分布
311马尔可夫链及其转移概率矩阵
312马尔可夫链的例子
313n步转移概率、ChapmanKolmogorov方程与主方程
32离散时间马尔可夫链的遍历极限及不变概率分布（平稳分布）
321马尔可夫链的状态分类、常返性与正常返性
322马尔可夫链转移概率的遍历极限与不变分布
323正常返状态的平均返回时间与不变概率分布
33可逆马尔可夫链
331马尔可夫链的可逆性及其等价条件
332网络的设施规模设计
333玻尔兹曼原理、有限格点上的Ising模型及其Glauber动力学
334神经网络的随机动力学模型——玻尔兹曼机与Hopfield反馈神经网络
34马尔可夫链及其遍历极限定理的应用
341系统的时间平均与空间平均
342Google搜索引擎的效率排序评估的Page 算法
343简单分支链
344马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC) 算法
345高阶马尔可夫链
346隐马尔可夫模型（HMM）
35马尔可夫链的初达时分布、禁忌概率与环流
351初达时与禁忌转移概率
352环流分布
习题
第4章连续时间马尔可夫链
41连续时间马尔可夫链及其转移矩阵
411连续时间马尔可夫链的定义及等价性描述
412连续时间马尔可夫链的概率转移矩阵
42由转移速率矩阵确定连续时间马尔可夫链的转移矩阵
421Kolmogorov 方程及主方程
422转移速率矩阵的概率含义
423Gillespie算法（Gillespie过程）——由转移速率矩阵生成马尔可夫链的样本的随机模拟方法
43连续时间马尔可夫链的极限分布和不变概率分布
431连续时间马尔可夫链的极限分布
432连续时间马尔可夫链转移矩阵的不变概率分布与嵌入链的不变概率分布的关系
433可逆的连续时间马尔可夫链
44禁忌概率
45连续时间马尔可夫链的应用与建模的案例
451系统与有效度
452酶催化反应、化学反应的主方程与其简化马尔可夫链
453生灭类过程
454连续时间简单分支过程
46加速收敛的均匀化方法
习题
第5章布朗运动与扩散过程
51高斯过程的定义
52布朗运动模型
521直观推导
522布朗运动的数学模型
523布朗运动的联合分布密度
524用随机徘徊近似布朗运动
53布朗运动的性质
531简单性质
532布朗运动的反射原理、首达性质与最大值分布
54布朗运动的简单推广
541吸附布朗运动
5420点的反射布朗运动
543积分布朗运动
544漂移布朗运动
545几何布朗运动
546布朗桥
55Ito随机积分——对布朗运动的积分
56随机微分方程
57扩散过程
习题
第6章时间序列
61平稳性与宽平稳性
62ARMA模型
63AR模型的定阶、偏相关系数与模型参数的估计
631偏相关系数的定义
632偏相关系数的求法
633用样本数据拟合AR模型的阶
634AR(p)的自回归系数(a1, ,ap)的估计
635残差方差的估计
64MA模型的定阶与模型参数的估计
65ARMA模型的定阶、参数估计与新息序列
651定阶与参数估计
652ARMA模型的预报问题与新息序列
66ARCH 模型
67GARCH模型
68KalmanBucy滤波
681KalmanBucy滤波简介
682KalmanBucy模型与滤波的一般形式
习题
第7章泊松点过程
71点过程与泊松点过程
711从点过程视角看泊松过程
712非时齐泊松点过程
713非时齐泊松点过程的随机模拟
72非时齐泊松点过程泛函的统计特征
73非时齐泊松点过程的似然函数和强度函数参数的最大似然估计
习题
第8章鞅和金融模型
81鞅列
811鞅列的定义
812鞅列的例子
813关于随机序列的停时和鞅列的选样定理
82随机徘徊的应用——金融中的二叉模型
821基本概念
822二叉模型下的欧式未定权益的定价
823二叉模型的美式未定权益
83金融证券的BlackScholes模型的欧式未定权益与定价
831BlackScholes偏微分方程的推导
832BlackScholes偏微分方程的求解
84连续时间的鞅和金融衍生证券定价的一般方法
841连续时间的鞅
842欧式未定权益定价的风险中性概率方法
843倒向随机微分方程方法
844时变的BlackScholes模型
85BlackScholes模型用二叉模型近似
86随机利率与债券利率的期限结构
861s零息债券
862零息债券导出的各种随机利率概念
863资产定价基本定理与利率衍生证券
864短期利率的风险中性模型
习题
第9章风险问题的破产模型
91复合泊松风险模型
911最大累计损失
912调节系数和破产概率的界
913混合指数理赔
92离散时间模型
921复合泊松理赔的离散模型的调节系数和连续模型的调节系数的关系
922调节系数的近似公式
习题
附录A  概率论的简要复习
附录B  随机变量的样本（随机数）的生成
参考文献
名词索引

前言在许多自然科学、工程技术以及经贸管理的系统分析中，随机性是一个不可忽略的因素.特别是，近年来由于数值技术的广泛应用，发展了超强的观测与记录技术，大数据的采集成为可能.大数据的分析与挖掘技术自然而然成为研究热点，在其中考虑随机因素也就成为量化系统中各种动态关系的关键之一.随机过程正是这种考量的途径.例如，在人类基因组计划完成后，雨后春笋般地出现大量的分子生物学与医学的观测手段，巨大的人力、物力与财力投入了这些观测，获得了海量的数据.但是这离人们认清这些数据所含的知识，尚很遥远.在天文、气象、经贸管理等领域也出现了同样的局面.近年来，单分子测量与实验说明，这个过程是随机的.如果只考虑它们的浓度（平均粒子数），不能解释很多值得注意的现象与规律.用随机过程方法（如生物化学中常说的主方程）来研究它们，使我们能够更深入、更全面地认识这些系统.在这些问题的数据分析中，除了必须利用高性能计算机，正确的数学建模与良好的计算方法是关键.随机过程正是对具有不可忽略的随机因素的系统进行分析与解释，进而正确建模和有效计算的重要工具.本书旨在为具有高等数学与初等概率论的基本知识的读者，提供一个开始学习应用随机过程的教程, 使其初等概率论的思维与随机建模接轨.与国内外大多数关于随机过程的书籍比较，本书着重于给读者提供随机过程的基本概念、思想与规律，以及这些概念、思想在应用问题中的简化模型.进而，在较为广泛的各领域中给出一些简化的应用实例，以使读者对于应用有所体会.因而，对于一些在数学上深刻的定理与概念，本书只得回避它们的一般与严格的论述与证明，而在比较特殊的条件下，给出概念、定理的叙述与简单推导，略去数学上复杂的或困难的证明.本书第1章与第2章给出了最简单、最典型的离散时间（参数）的随机过程（随机徘徊）与连续时间（参数）的随机过程（泊松过程），以使读者建立随机过程研究的数学框架与图景.以下的各章，都可以看成随机徘徊或泊松过程在某种意义下的推广.例如，第3章和第4章分别讨论离散时间与连续时间下，对以上二者的独立增量性要求放松为无记忆性的过程.第5章讨论最简单的连续时间、连续取值（取实数值）的独立增量过程——布朗运动，它与泊松过程被誉为随机过程两大支柱.在这一章中，我们给出了浅显的扩散过程的概念与随机分析基础.第6章中将解除对随机徘徊中随机序列的独立增量性要求，只要求其时间齐次性，即平稳性，并在二阶矩所决定的性质方面进行研讨.第7章从“计数事件”发生的角度分析、拓广泊松过程，并讨论泊松点过程.近年来，这种过程的概念与计算在信号的统计分析中有许多成功的应用.第8章和第9章分别给出近年来随机过程得到成功应用的两个领域（金融与精算）的一些应用问题，以期读者对更为深入的应用的“韵味”有所体会.我们强调， 读书并非要按顺序进行，为了掌握要点， 还可以泛读（skimming）与精读（analyzing）相结合， 就是学会二维地读， 学会读目录，读名词索引等. 为此我们将目录列得较细，以便于读者参考.本书各章间具有较强的独立性，下图显示各章之间的联系，以便读者有选择性地阅读.由于编者水平有限，书中难免不妥之处，请读者不吝赐教.