数学所讲座2010

中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书根据2010年八个讲座的讲稿整理而成，内容涉及数与形的关系、数和形的认识、分析数学、数理逻辑、表示论、数学物理等。
本书可供数学专业的高年级本科生、研究生、教师和科研人员阅读参考，也可作为数学爱好者提高数学修养的学习读物。

序
前言
1 数与形——一个说不尽的话题 葛力明
1.1 引言 1
1.2 整数和圆周 2
1.3 自然数 5
1.4 扭结——圆周的变形 7
1.5 代数中的“连通性” 8
1.6 代数和子代数 9
1.7 代数中的分形维数 10
2 形，从熟悉到陌生 孙笑涛
2.1 一般介绍 14
2.2 齐次三元三次方程 16
2.3 齐次四元三次方程 18
2.4 从“形”到“数” 20
2.5 从“简单”到“复杂”：Mordell猜想的证明 21
参考文献 25
3 表示，随处可见 席南华
3.1 表示论的大致划分 27
3.2 表示的例子——一维的情形 28
3.3 模的语言 29
3.4 表示的例子——高维的情形 29
3.5 表示论的基本思想 35
3.6 表示论的基本问题 35
3.7 最基本的表示 35
3.8 不可约表示的分类 37
3.9 研究方法 41
3.10 历史 46
3.11 结语 53
附记 53
4 数，我们怎样认识她 王崧
4.1 引言 55
4.2 赋值 56
4.3 Adele环 59
4.4 数的代数 61
4.5 数的几何 63
4.6 结语 64
参考文献 67
5 分析，长袖善舞 张立群
5.1 微分与极大值原理 71
5.2 积分与不等式 80
5.3 结语 89
参考文献 89
6 几何中的分类问题——形与数 段海豹报告，江怡整理
6.1 引言 90
6.2 历史上的一些几何分类问题 90
6.3 流形及其分类问题 95
6.4 结语 104
参考文献 105
7 形式与内涵，莱布尼兹之梦 冯琦
7 1 开篇：风，始于青萍之末 107
7.2 莱布尼兹梦想篇：风华少年觅新符 111
7.3 历史发展篇：世纪知音释旧梦 112
7.4 形式与内涵篇：遂将形式赋内涵 117
7.5 完备性定理篇：巧得完备冠系统 134
7.6 不完全性篇：横看成岭侧成峰，远近高低各不同 147
7.7 非标准模型篇：不识庐山真面目，只缘身在此山中 158
7.8 结语：先贤著玄机，风騷启后人 160
参考文献 161
8 爱因斯坦场方程——黑洞从这里产生 张晓
8.1 牛顿力学 162
8.2 光学 163
8.3 电磁学 165
8.4 狭义相对论 165
8.5 广义相对论 166
8.6 黑洞与奇点 168
8.7 宇宙加速膨胀 169
8.8 引力波 170
8.9 宇宙大爆炸 172
8.10 引力形变量子化 172
参考文献 175