实变函数论

本书介绍了欧氏空间上的Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，也附带简要介绍抽象测度论的基础知识。
本书旨在提供一本教师易于使用，学生易于阅读的教材。为此，本书在内容编排上注重理论展开的条理性和清晰性，将基础的部分和较难的部分适当分开，便于在教学上根据情况作取舍，也便于初学者在学习上循序渐进。在文字叙述上力求可读性强，定理的证明过程较为详细。本书配备了较多的习题，并且根据难度把习题分为A和B两类。在书的末尾对大部分习题给出了提示或解答要点。本书可作为综合性大学、理工科大学和高等师范院校的数学专业或其他学科部分专业本科生的教材或参考书，也可供研究生或教师参考

丛书序
前言
引言
0.1 Riemann积分理论的局限性 2
0.1.1 可积函数对连续性的要求 2
0.1.2 积分与极限运算顺序的交换 2
0.1.3 可积函数空间的完备性 3
0.2 Lebesgue积分思想的大体描述 3
0.3 实变函数论的主要内容 5
第1章 集合与Rn中的点集
1.1 集合与集合的运算 8
1.1.1 集合的基本概念 8
1.1.2 集合的运算 8
1.1.3 集列的极限 12
1.2 映射 可列集与基数 13
1.2.1 映射 13
1.2.2 可列集 15
1.2.3 基数 20
1.3 集类 26
1.3.1 代数与σ-代数 26
1.3.2* 单调类定理 29
1.4 Rn中的点集 30
1.4.1 Rn上的距离 31
1.4.2 开集与闭集 32
1.4.3 连续函数 36
1.4.4 开集的构造 37
1.4.5 Borel集 39
1.4.6 Cantor集 40
习题1 42
第2章 Lebesgue测度
2.1 外测度 48
2.2 可测集与测度 53
2.2.1 可测集的定义 53
2.2.2 可测集与测度的性质 55
2.2.3 测度计算的例 60
2.3 可测集与测度(续) 61
2.3.1 可测集的逼近性质 61
2.3.2* Lebesgue-Stieltjes测度 64
2.3.3* 不可测集的例 66
2.4* 测度空间 68
2.4.1 环上的测度 68
2.4.2 外测度与测度的延拓 70
习题2 75
第3章 可测函数
3.1 可测函数的性质 80
3.1.1 可测函数的定义与例 80
3.1.2 可测函数的运算封闭性 82
3.1.3 可测函数用简单函数逼近 84
3.2 可测函数列的收敛 88
3.2.1 几乎处处成立的性质 88
3.2.2 可测函数列的几种收敛 89
3.2.3 几种收敛的相互关系 90
3.3 可测函数用连续函数逼近 93
3.4* 测度空间上的可测函数 98
习题3 101
第4章 Lebesgue积分
4.1 积分的定义 106
4.1.1 非负简单函数的积分 106
4.1.2 非负可测函数的积分 107
4.1.3 一般可测函数的积分 109
4.1.4 可积性 110
4.2 积分的性质 112
4.2.1 积分的初等性质 112
4.2.2 复值可测函数的积分 116
4.3 积分的极限定理 117
4.4 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 121
4.4.1 两种积分的关系 121
4.4.2 几个例子 124
4.5 可积函数的逼近性质 125
4.6 重积分与累次积分 Fubini定理 128
4.6.1 Fubini定理 128
4.6.2* 积分的几何意义 135
4.7* 测度空间 137
4.7.1 测度空间上的积分 137
4.7.2 乘积测度空间与Fubini定理 139
习题4 144
第5章 微分与不定积分
5.1 单调函数的可微性 150
5.2 有界变差函数 155
5.3 绝对连续函数与不定积分 159
5.3.1 绝对连续函数与Newton-Leibniz公式 160
5.3.2* 积分的变量代换 164
习题5 167
第6章 Lp空间
6.1 Lp空间的定义 172
6.2 Lp空间的性质 175
6.3 L2空间 180
6.3.1 L2空间中的正交性 180
6.3.2 规范正交系 182
习题6 187
部分习题的提示与解答要点
参考文献
附录 等价关系 半序集与Zorn引理