反问题的正则化理论和应用

随着现代科学技术的发展，不适定问题的有效求解在地质勘探、遥测遥感、图像处理、深度学习等领域发挥着日益重要的作用。所谓不适定问题，是指由于客观条件的限制，待求解问题解的存在性、唯一性或者稳定性难以保证。由于工程应用中的输入数据总是带有误差的，不适定问题稳定性的恢复，对求解实际应用问题具有特别重要的意义。


  在本书前五章，我们系统阐述了求解不适定问题的正则化方法，第3章和第4章是关于线性不适定问题的求解，第5章是关于非线性不适定问题的求解。在第6章，我们研究了用正则化方法求解几类重要的应用问题，分别是慢扩散过程的逆时问题、图像处理、非局部输入数据的非线性反问题、介质逆散射问题和分数阶微分方程多参数重建，反映了作者和其研究团队近三十年来的主要研究工作。

本书的读者对象是数学、物理、工程等领域从事求解不适定问题研究和应用的科研人员，也可以作为研究生的不适定问题课程的专门教学用书

《信息与计算科学丛书》序
前言
第1章 适定问题和不适定问题 1
1.1 物理问题的描述方法 1
1.2 问题适定性 2
1.3 反问题和不适定问题 2
1.4 反问题和气候数值预报 4
1.5 不适定问题的例子及难点 5
1.6 输入数据和模型的完全匹配 15
第2章 预备理论 23
2.1 赋范空间若干结果 23
2.2 有界算子和紧算子 26
2.3 Riesz理论和Fredholm理论 30
2.4 线性积分算子 34
2.5 紧算子的谱理论 42
第3章 线性不适定问题的正则化方法 52
3.1 一般的正则化理论 52
3.2 允许的α=α（δ）的取法 57
3.3 q（α，μ）的取法 60
3.4 Tikhonov正则化方法 62
3.5 拟解和相容性原理 72
3.6 Landweber迭代正则化 84
3.7 条件稳定性和正则化参数选取 94
3.8 线性反问题正则化参数的迭代选取 97
3.9 求正则化参数的模型函数方法 104
3.10 两类正则化方法的比较 111
3.11 线性不适定问题Tikhonov正则化方法的推广 116
第4章 离散化的正则化方法 119
4.1 一般的投影方法 119
4.2 Galerkin方法 129
4.3 配置方法 134
4.4 投影方法的应用 139
4.4.1 Laplace方程边值问题的势函数解法 140
4.4.2 Galerkin方法解 Symm方程 144
4.4.3 配置方法解Symm方程 146
4.4.4 解Symm方程的数值实验 152
第5章 非线性不适定问题的正则化方法 156
5.1 Tikhonov正则化 156
5.2 梯度方法 164
5.2.1 非线性Landweber迭代 164
5.2.2 最速下降法和最小误差法 172
5.2.3 Hilbert尺度下的Landweber迭代 176
5.2.4 迭代正则化Landweber方法 179
5.3 Newton型方法 190
5.3.1 Levenberg-Marquardt方法 190
5.3.2 迭代正则化Gauss-Newton方法 197
第6章 正则化方法应用 201
6.1 扩散过程的逆时问题 201
6.1.1 逆时热传导问题不适定性 202
6.1.2 逆时问题的正则化方法 206
6.1.3 二维逆时问题数值结果 212
6.1.4 一维逆时问题数值结果 217
6.2 时间分数阶导数偏微分方程的逆时问题 227
6.2.1 基于方程修正的正则化策略 228
6.2.2 正则化解的收敛性 232
6.2.3 数值实验 241
6.2.4 图像去模糊的慢扩散过程逆时问题模型 246
6.2.5 基于有限项级数展开的正则化策略 248
6.2.6 图像去模糊的数值实验 254
6.3 数值微分问题 256
6.3.1 样条插值方法 256
6.3.2 光滑化方法 266
6.3.3 积分算子方法 271
6.4 声波逆散射问题的正则化求解 275
6.4.1 波场的散射问题 275
6.4.2 由远场近似数据求散射波近场正则化方法 279
6.4.3 数值实验 284
6.4.4 求散射场的近似模型函数方法 289
6.5 基本解的Runge逼近 297
6.5.1 Helmholtz方程基本解的 Runge 逼近 297
6.5.2 逼近的数值实现 300
6.5.3 位势函数的离散计算公式 302
6.6 图像处理中的正则化方法 309
6.6.1 图像光滑化的模拟 309
6.6.2 频域上不完备数据的离散图像恢复模型 311
6.6.3 循环嵌套的交替迭代格式 314
6.6.4 迭代格式的收敛性 321
6.6.5 数值模拟 326
6.7 非局部数据作为反演输入的Robin系数重建 334
6.7.1 反问题的唯一性和稳定性 334
6.7.2 优化方案和收敛性 340
6.7.3 优化问题的迭代方案及数值实验 344
6.8 时间分数阶扩散系统边界阻尼系数和内部源项的同时重建 350
6.8.1 反问题解的唯一性 351
6.8.2 正则化解的误差估计 353
6.8.3 正则化反演方案和数值实验 363
6.9 分层介质中的热传导方程反边值问题 372
6.9.1 反问题的重建方法 374
6.9.2 数值计算方案 380
6.9.3 数值例子 386
6.10 一类具有广义斜导数边界条件的逆散射问题 389
6.10.1 正散射问题解的唯一性和存在性 390
6.10.2 逆散射问题解的唯一性 395
6.10.3 逆散射问题的线性采样法 399
6.10.4 数值实验 405
参考文献 411
索引 423
《信息与计算科学丛书》已出版书目 425