自然哲学之数学原理（附卡约里关于本书的历史与解释性注释）

《自然哲学之数学原理》被称为“影响人类文明进程的十本书之一”。书中构建了一个宏伟的近代物理学体系，完美解释了当时已知的一切运动现象。它是划时代的巨著，也是人类掌握的首个完整的、科学的宇宙论和科学理论体系。其影响遍布经典物理学的所有领域，并在其后300年里一再取得丰硕成果。 爱因斯坦曾盛赞：“至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来替代牛顿的关于宇宙的统一概念。而要是没有牛顿的明晰的体系，我们到现在为止所取得的收获就会成为不可能。” 美国科学史家卡约里（Florian Cajori，1859—1930）将本书由拉丁文本翻译为英文并做了相应注释，本中译本即由卡约里的英文本翻译而来。本次改版补充了卡约里的56条注释（5万余字）。增加的这些注释不仅可以帮助读者更好地理解牛顿的思想，也反映了20世纪初期人们研究牛顿思想的水平，还为科学史研究提供了珍贵史料。

【英国】牛顿 ---------------------------- 牛顿（Isaac Newton，1642—1727），英国物理学家、天文学家和数学家。被公认为有史以来伟大的且影响深远的科学大师。1703年任英国皇家学会学长，1705年被安妮女王封为爵士，1727年被安葬在著名的威斯敏斯特教堂。 译者：王克迪 王克迪，北京大学博士，剑桥大学访问学者，中共中央党校教授。

导读 《自然哲学之数学原理》（以下简称《原理》）是牛顿一生中最重要的科学著作。 《原理》(第一版)成书于1687年，是牛顿经过20年的思考、实验研究、大量的天文观测和无数次数学演算的结晶。这20年，以及这之前的几十年里，欧洲的许多先进思想家和科学家在研究自然和数学方面取得了许多成就。其中直接或间接影响牛顿的思想体系以及《原理》的主要有： 哥白尼(Nicholas Copernicus,1473—1543)提出了日心说。在哥白尼以前，欧洲占统治地位的宇宙学说是亚里士多德托勒密(AristotlePtolemy)地心说体系。地心说本来是许多种宇宙学说中的一种，与纪元前后人们的天文观测水平相适应，它认为地球处于宇宙的中心，行星和太阳、月亮围绕着地球旋转，宇宙的最外层是不动的恒星，上帝住在遥远的恒星天注视着人类活动的地球，主宰着整个宇宙。由于这一学说符合上帝创造世界和人的基督教教义，后来在政教合一的欧洲成为占统治地位的意识形态，长期禁锢欧洲的思想界达千年之久。 它的影响所及，既包括人们对于世界的基本看法，也包括人们对于天文历法编制、普通物体运动，甚至人类的生老病死的具体看法、解释和态度，可谓无所不包。但是，到中世纪中后期，随着人们天文观测精度的提高和观测资料的大量积累，地心说越来越不能自圆其说，不能满足实际需要。例如编制历法，到中世纪后期，天文现象与历法之间的误差越来越大，不仅天象(如日食、月食)无法预报和解释，连季节变换和每年的元旦都定不准，误差竟达几个月。 波兰的天文学家哥白尼对地心说体系发起了挑战，他用神学的语言和毕生天文观测的数据写成了《天体运行论》一书。他指出，更合理的宇宙结构应当是以太阳为宇宙中心，地球和其他行星绕太阳旋转，旋转的轨道是完美的圆形。但哥白尼预计到自己的学说会被当做宗教异端对待，他直到临死前才发表了这部著作。 哥白尼的著作和学说赢得了有独立思考能力的思想家和科学家的赏识。意大利哲学家布鲁诺(Giordano Bruno，1548—1600)就到处宣传日心说，遭到教会的迫害；他在备受酷刑摧残之后，被烧死在火刑柱上。 意大利科学家伽利略也相信日心说。他进一步认为，自然的语言是数学，观察和研究自然要通过科学的实验，而要表达自然的运动规律，应当使用数学和实验数据。伽利略发明了折射望远镜，并且用望远镜发现了木星的卫星，伽利略认为木星的卫星围绕木星旋转充分说明了哥白尼原理的正确性。伽利略还发现了惯性原理，用数学关系精确表达了运动物体的距离与时间的关系(如自由落体)，研究过单摆的运动，研究了力的合成及抛体运动。伽利略写下了两本著名的书：《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于两门新科学的对话》，集中表达了他的科学(主要是物理学和天文学)成就，以及他对于宇宙和新的实验科学的看法。他被宗教法庭判为异端。他屈服了，写下了“悔过书”，但他被押离法庭时还是喃喃自语：“但是地球毕竟是在动的!”伽利略死于1642年，之后，牛顿出生了。 从伽利略以后，新的实验科学获得了地位，数学语言取代哲学思辨语言用于表达自然的规律，成为时尚。但是宇宙体系问题还远远没有解决。哥白尼日心说简洁优美，但在天文计算中却十分繁杂，比起托勒密地心体系甚至有过之无不及。于是德国天文学家第谷(Tycho Brahe，1546—1601)提出了折中方案，认为太阳和月亮围绕地球旋转，行星围绕太阳旋转，但是这并没有使问题变得简单些。第谷的学生开普勒认识到需要作更加精密的天文观测，然后才有可能回答宇宙体系的问题。他一生孜孜不倦地观测天象，用大量数据总结出天体(行星)运动三定律，其核心是发现行星的运行轨道是椭圆，而不是哥白尼所说的正圆，太阳或地球位于椭圆的两个焦点之一。开普勒的行星运动定律是牛顿之前人类所取得的最高天文学成就。 与伽利略的实验科学传统略有不同的是法国哲学家和数学家笛卡儿(René du Perron Descartes,1596—1650)。以今天的眼光看来，笛卡儿有些奇怪，他在数学上很有建树，对于代数学和几何学都有很大贡献，他发明了我们今天十分熟悉的坐标系，以及把几何问题转化为代数问题的解析几何。马克思(Karl Marx,1818—1883)评价笛卡儿，说从他开始，运动被引入了几何学。在哲学世界观上，笛卡儿坚持用自然的原因来解释自然，但是他在认识论上却又是个不可知论者，他的名言是“我思故我在”。 笛卡儿的哲学学说有极大影响，从他年轻时直到死后统治整个欧洲长达一个世纪。这影响波及科学领域，特别是天文学和物理学。在物理学上，笛卡儿及其追随者强调有某种特殊的物质“以太”(牛顿所说的“隐秘的质”)，它们充满空间，因为“自然厌恶真空”，以太传递物体之间的相互作用，使物体的运动得以持续。“以太”是一种想象中的物质存在，一种纯思辨的产物，它排除了物质世界里和物体运动关系中神的作用，但为探究自然规律设置了新的障碍。 困难在于以太既无法测量，又难以想象。笛卡儿学说的最大成就和最大失败都集中体现在它的宇宙论中。它承认日心说体系。因为它必须否认真空的存在，他设想宇宙中充满以太，太阳的转动在以太中形成宇宙涡旋，涡旋运动带动各个行星运动，从而有我们所见到的天象奇观。这一解释从哲学思辨上来说，其成功是前所未有的，它首次提出了一个不诉诸神力的宇宙动力学模型，很有想象力，满足了人们解释天象的思辨需要。 但是，笛卡儿学派的涡旋说在具体的天文现象的解释上却遭遇到重重困难。例如，地球和各行星的自转，这要求在整个宇宙的大涡旋中有局部的方向和速度都不相同的小涡旋，而且因为各个行星围绕太阳的公转速度不同，大涡旋到太阳距离不同的部分的旋转速度也不相同，这很难与人们的日常经验相符；更糟的是，某些行星，如火星，有时会出现天文学中常见的“逆行”现象，似乎宇宙大涡旋中的某些层次有时会随心所欲地发生“逆转”，这对于以自然解释自然的信条构成了严重障碍。还有，涡旋说无法说明行星发光现象，只能暗示天体实际上是某种与地面物体很不相同的“精英”物质，这就又请回了亚里士多德的宇宙论。最后，涡旋说对于具体的天文现象的解释与实际观测数据相矛盾，在《原理》第二编的末尾，牛顿指出涡旋的速度与它到涡旋中心的距离成正比，然而天文观测数据表明行星的速度与它到太阳距离的32次幂成反比，这对涡旋说来说是致命的。 笛卡儿宇宙体系是牛顿时代面对的最大的宇宙体系，英国和整个欧洲大陆的大学都讲授它，以它为标准的宇宙学说。牛顿在伦敦大鼠疫时期就已经看出笛卡儿体系的问题，摧毁这一体系，成为牛顿研究生涯的首要直接目标。而要建立起一个全新的体系，则要经过长达20年的思考和研究，直到完成《原理》的写作。 牛顿在思想上还受到英国的思想家培根(Francis Bacon,1561—1626)、洛克(John Locke，1632—1704)和摩尔(Henry More,1614—1687)等人的影响，他们都强调经验论的作用。在科学思想和神学思想上，牛顿又受到同时代的英国化学家波义耳(Robert Boyle,1627—1691)的影响，认为每一个哲学家的最崇高的职责是认识并证明上帝的存在和完美；自然界是上帝创造的，它只是上帝的神性的外在形式，它可以为人类所认识和想象，人类只能通过自然哲学去研究自然，才能最终认识上帝。在此意义上，牛顿毕生所从事的各种研究，包括数学、物理学、天文学、炼金术、圣经考古学和圣经年代学以及神学等，都是服务于他心目中的上帝的。 此外，当牛顿进入学术研究时，与他同时代的一些科学家也做出了一些重要的工作，如荷兰物理学家和天文学家惠更斯发明了发条钟和摆钟，这为准确的科学计时准备了条件；荷兰工程师贝克曼(Isaac Beeckman,1588—1677)提出一切运动都要找出其力学原因的思想，为机械唯物主义做好了铺垫；地理大发现已经过去了一个多世纪，欧洲人早已有能力在地图上画满经度和纬度线，以准确定位地球上的每一点。 牛顿的《原理》正是在这样的背景下写作出来的。 《自然哲学之数学原理》的体系、结构和特点 牛顿并没有声称自己要构造一个体系。牛顿在《原理》第一版的序言一开始就指出，他要“致力于发展与哲学相关的数学”，这本书是几何学与力学的结合，是一种“理性的力学”，一种“精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力”。他的任务是“由运动现象去研究自然力，再由这些力去推演其他运动现象”。 然而牛顿实际上构建了一个人类有史以来最为宏伟的体系。他所说的力，主要是重力（我们今天称之为引力，或万有引力），以及由重力所派生出来的摩擦力、阻力和海洋的潮汐力等，而运动则包括落体、抛体、球体滚动、单摆与复摆、流体、行星自转与公转、回归点、轨道章动等，简而言之，包括当时已知的一切运动形式和现象。也就是说，牛顿是要用统一的力学原因去解释从地面物体到天体的所有运动和现象。 在结构上，《原理》是一种标准的公理化体系。它从最基本的定义和公理出发，“在第一编和第二编中推导出若干普适命题”。第一编题为“物体的运动”，把各种运动的形式加以分类，详细考察每一种运动形式与力的关系，为全书的讨论做了数学工具上的准备。第二编讨论“物体(在阻滞介质中）的运动”，进一步考察了各种形式的阻力对于运动的影响，讨论地面上各种实际存在的力与运动的情况。牛顿在第三编中“示范了把它们应用于宇宙体系，用前两编中经数学证明的命题，通过天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力，再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动”。在全书(我们选用的这个第三版)的最后，牛顿写下了一段著名的“总释”，集中表述了牛顿对于宇宙间万事万物的运动的根本原因——万有引力——以及我们的宇宙为什么是一个这样优美的体系的总原因的看法，集中表达了他对于上帝的存在和本质的见解。 在写作手法上，牛顿是个十分专注的人，他在搭建自己的体系时，虽然仿照欧几里得(Euclid，约前330—前275)的《几何原本》，但从没有忘记自己的使命是解释自然现象和运动的原因，没有把自己迷失在纯粹形式化的推理中。他是极为出色的数学家，在数学上有一系列一流的发明，但他严格地把数学当做工具，只是在有需要时才带领读者稍微做一点数学上的远足。另一方面，牛顿也丝毫没有沉醉于纯粹的哲学思辨。《原理》中所有的命题都来自现实世界，或是数学的，或是天文学的，或是物理学的，即牛顿所理解的自然哲学的。 《原理》中全部的论述都以命题形式给出，每一个命题都给出证明或求解，所有的求证求解都是完全数学化的，必要时附加推论，而每一个推论又都有证明或求解。只是在牛顿认为某个问题在哲学上有特殊意义时，他才加上一个附注，对问题加以解释或进一步推广。 大多数读者在阅读《原理》时感到困惑和困难的是牛顿对于命题的解决方式。首先，牛顿大量使用作图，采用几何学的证明方法；其次，牛顿大量运用比例关系式，这一点令读者感到繁杂，但这正是牛顿论证的有力之处。它在思想上符合牛顿的可测度空间和时间以及重量等物理概念只是相对性的见解，运算中回避了拘泥于单位制的麻烦并且使牛顿极为方便地引入了他发明的极大极小比方法。此外，我们应当理解到，在牛顿写作《原理》时，用来解决物体运动的动力学问题的有力工具微积分(牛顿称为流数法)还处于发明的初期，远远没有成熟到今天的样子，而牛顿本人正是这种技术的主要发明人之一。有证据表明，书中的许多论述，牛顿是通过自己发明的流数法或反流数法得到的，但在写作《原理》时，牛顿换成了当时人们较为熟悉的几何作图与代数运算相结合的形式。实际上，《原理》发表后，许多读者根本读不懂，以至于有人认为牛顿写了一本“连他自己也看不懂的书”，牛顿那令人眼花缭乱的数学技巧使许多当时一流的数学家也感到非常吃力。 《原理》中使用的数学、物理学和天文学概念与术语非常多，其中有许多与我们今天常见的相同，但也有许多不同，还有一些今天已很少使用。这一点需要读者注意。

弁　言 / i 导　读 / 1 中译本序 / 1 序　言 / 1 第一版作者自序 / 3 第二版作者自序 / 6 第二版科茨序言 / 7 第三版作者自序 / 22 定　义 / 1 运动的公理或定律 / 11 第一编　物体的运动 第1章　初量与终量的比方法，由此可以证明下述命题 / 27 第2章　向心力的确定 / 37 第3章　物体在偏心的圆锥曲线上的运动 / 52 第4章　由已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线轨道 / 63 第5章　焦点未知时怎样求轨道 / 70 第6章　怎样求已知轨道上的运动 / 99 第7章　物体的直线上升或下降 / 106 第8章　受任意类型向心力作用的物体环绕轨道的确定 / 117 第9章　沿运动轨道的物体运动；回归点运动 / 123 第10章　物体在给定表面上的运动；物体的摆动运动 / 134 第11章　受向心力作用物体的相互吸引运动 / 148 第12章　球体的吸引力 / 172 第13章　非球形物体的吸引力 / 191 第14章　受指向极大物体各部分的向心力推动的极小物体的运动 / 201 第二编　物体（在阻滞介质中）的运动 第1章　受与速度成正比的阻力作用的物体运动 / 211 第2章　受正比于速度平方的阻力作用的物体运动 / 220 第3章　物体受部分正比于速度、部分正比于速度平方的阻力的运动 / 244 第4章　物体在阻滞介质中的圆运动 / 253 第5章　流体密度和压力；流体静力学 / 260 第6章　摆体的运动与阻力 / 271 第7章　流体的运动，及其对抛体的阻力 / 292 第8章　通过流体传播的运动 / 327 第9章　流体的圆运动 / 343 第三编　宇宙体系（使用数学的论述） 哲学中的推理规则 / 356 现　象 / 358 命　题 / 363 月球交会点的运动 / 414 总　释 / 487 关于本书的历史与解释性注释 / 495 译后记 / 553 译者说明 / 559