数字化设计的数学基础

\"产品设计是人类为了满足生活和生产的需要而进行的创造性的劳动。随着计算机技术的发展，数字化设计技术已经被广泛应用于各种工业产品的设计中。 本书讲解了产品数字化设计过程中所用到的基础数学知识，包括几何建模、有限元方法和优化方法，这三部分知识分别对应了数字化设计流程的三个重要环节，是支撑现在CAD和CAE软件工具的重要数学基础，掌握这些数学知识可以帮助读者更深刻的理解相关软件背后的工作原理以及产品数字化设计的流程。 本书适用于大专院校的《数字化设计与制造》课程教学，所有从事机械工程专业工作的学生都应对该书所涉及的技术深刻理解。也可作为CAD的数学原理（各类曲线曲面方程）、有限元（静力学）方法的数学原理、机械工程优化数学原理等方面的教材，还可为培训学生使用常见的数字化设计商业软件编程及软件操作培训提供参考。\"

丁晓宇，长聘副教授，特别研究员，博士生导师，就职于北京理工大学机械与车辆学院。研究方向包括：接触力学、连接力学、复杂结构精密装配理论与技术。作为负责人承担了国家自然科学基金重点项目、装备预研领域基金、国防基础科研项目、航发集团产学研项目等，获国防科学技术进步一等奖一项，国防科学技术进步二等奖一项，北京市科学技术发明二等奖一项，以第一或通讯作者发表SCI刊源论文20余篇，以第一发明人获授权国家发明专利10余项。

第一章 引言 1.1 数字化设计技术概述 1.2 数字化设计技术的应用案例 1.3 本书的知识架构 参考文献 第二章 几何建模 2.1 几何建模技术概述 2.2 参数化曲线 2.2.1 参数化曲线的基本概念 2.2.2 直线 2.2.3 二次曲线 2.2.4 三次曲线 2.2.5 贝塞尔曲线 2.2.6 非均匀B样条曲线 2.2.7 非均匀有理B样条曲线 2.2.8 曲线的连续性 2.3 参数化曲面 2.3.1 参数化曲面的基本概念 2.3.2 双线性曲面 2.3.3 双三次曲面 2.3.4 贝塞尔曲面 2.3.5 其他参数化曲面 2.3.6 参数化曲面的连续性 2.4 图形的几何变换 2.4.1 图形几何变换的基本概念 2.4.2 特征点的齐次坐标 2.4.3 几何变换矩阵 2.4.4 平移变换 2.4.5 旋转变换 2.4.6 镜像变换 2.4.7 缩放变换 2.4.8 组合变换 习题 参考文献 第三章 有限元方法 3.1 有限元方法概述 3.2 一维弹簧单元 3.2.1 弹簧单元刚度方程 3.2.2 扩展法 3.2.3 叠加法 3.2.4 一维弹簧系统 3.3 杆单元 3.3.1 一维杆单元 3.3.2 二维杆单元 3.3.3 二维桁架系统 3.4 势能法 3.4.1 最小势能原理 3.4.2 弹簧单元总势能 3.4.3 杆单元总势能 3.5 弹性静力学问题 3.5.1 弹性静力学平衡微分方程 3.5.2 应变-位移关系 3.5.3 应力-应变关系 3.5.4 平面应力与平面应变 3.6 平面三角形单元 3.6.1 平面三角形单元刚度矩阵和方程构建思路 3.6.2 平面三角形单元位移函数和形函数 3.6.3 平面三角形单元应变-位移及应力一应变关系 3.6.4 平面三角形单元刚度矩阵和方程 3.6.5 平面三角形系统 3.7 四面体单元 3.7.1 四面体单元位移函数和形函数 3.7.2 四面体单元应变-位移及应力-应变关系 3.7.3 四面体单元刚度矩阵和方程 3.7.4 四面体系统 习题 参考文献 第四章 设计优化方法 4.1 设计优化概述 4.1.1 最优化设计问题及模型 4.1.2 优化方法的数学基础 4.2 无约束优化求解方法 4.2.1 无约束问题的极值条件 4.2.2 最速下降法 4.2.3 牛顿型法 4.2.4 最小二乘问题 4.2.5 高斯牛顿法 4.2.6 Levenberg-Marquardt（简称LM）方法 4.3 有约束优化求解方法 4.3.1 有约束问题的极值条件 4.3.2 约束优化方法 4.4 线性规划问题求解方法 4.4.1 数学模型及标准形式 4.4.2 图解法 4.4.3 单纯形法原理 4.4.4 应用单纯形法的人工变量法 4.4.5 单纯形法解的可能性 4.4.6 对偶单纯形法 4.4.7 敏感性分析 4.4.8 参数线性规划 习题 参考文献