考研数学你真的掌握了吗？多元微积分

\"本书主要内容包括多元函数的微分学、重积分、曲线积分和曲面积分。其中，多元函数的微分学部分涵盖多元函数的极限与连续性、偏导数与全微分、复合求导与隐函数求导、方向导数与梯度等内容。重积分部分介绍了二重积分及其计算、积分次序问题、极坐标系下的二重积分，以及三重积分的计算。曲线积分和曲面积分部分探讨了第一型和第二型曲线积分的定义与计算，以及曲面积分的面积计算和第一型曲面积分的内容。此外，格林公式和曲面积分部分还提及了曲线积分路径无关的等价条件。 本书基于作者多年教学、辅导和出版经验，历时五年的准备时间，针对新考研大纲下的高中数学学科各主要专题，在深入研究的基础上，进行了尽可能深入而充分地梳理和讲解，力求体现知识脉络的演变以及思维高度的创新。本次出版的内容原创性强，不拘泥于结论和形式，循循善诱，绝大部分例题在考研入门阶段即可读懂，后期还会有习题集配套出版，乃是广大考生课堂学习的有益补充，也是大家提早备考的一剂沁心良药。 本书的读者对象是备战考研的大学生。 \"

张杨文，数学与应用数学博士学位，主要研究方向为偏微分方程的控制理论及其算法。 在计算数学顶尖期刊《SIAM Journal on Numerical Analysis》上发表论文7篇，其中作者还独立解决了数值线性代数领域中一个非常重要的公开问题，作者与卡内基梅隆的Walkington教授和加州伯克利的Weber教授合作, 提出了关于偏微分计算的全新算法，在保持同样精度的前提下，其计算效率是传统算法的几百倍甚至上千倍。在教学方面，作者曾经在成都新东方从事考研培训2年，并且一直从事高等数学、线性代数，概率统计、数值线性代数、数值分析和偏微分方程等课程的教授工作。

目 录 第 1 章 多元函数的微分学 1 1.1 多元函数的极限与连续性 1 1.1.1 重极限的定义 1 1.1.2 多元函数的连续性 2 1.2 多元函数的偏导数与全微分 3 1.2.1 偏导数的定义 3 1.2.2 可 (偏) 导与连续的关系 5 1.2.3 多元函数的微分 6 1.2.4 多元函数的连续、可导与可微的关系 8 1.2.5 高阶偏导数及混合偏导数 12 1.3 复合求导与隐函数求导 13 1.3.1 复合求导 13 1.3.2 高阶偏导数问题 16 1.3.3 变量替换 18 1.3.4 由一个方程确定的隐函数求导 18 1.3.5 由方程组确定的隐函数求导 21 1.4 方向导数与梯度 (仅限数学一) 22 1.4.1 方向导数 22 1.4.2 梯度 23 1.4.3 梯度的重要性 25 1.5 空间解析几何 (仅限数学一) 27 1.5.1 向量的叉乘 27 1.5.2 平面及其方程 28 1.5.3 空间直线及其方程 29 1.5.4 旋转曲面及其方程 31 1.6 多元微分学的应用 (仅限数学一) 33 1.6.1 空间曲线的切线与法平面 (一) 33 1.6.2 空间曲线的向量表示 34 1.6.3 空间曲面的切平面与法线 35 1.6.4 空间曲线的切线与法平面 (二) 27 1.7 多元函数的极值与最值 37 1.7.1 二元函数的极值 38 1.7.2 二元函数的最值 44 1.7.3 条件极值的拉格朗日乘数法 46 1.7.4 再探二元函数的最值 53 第 2 章 多元函数的重积分 54 2.1 二重积分的概念与性质 54 2.1.1 二重积分的定义 54 2.1.2 二重积分的性质 55 2.2 直角坐标系下二重积分的计算 56 2.2.1 矩形区域上的二重积分 57 2.2.2 X 型区域上的二重积分 58 2.2.3 Y 型区域上的二重积分 60 2.2.4 无界区域上的二重积分 (仅限数学三) 61 2.2.5 参数方程下的二重积分 63 2.3 二重积分的次序问题 64 2.3.1 如何选择合适的积分次序 64 2.3.2 交换积分次序. 67 2.4 极坐标系下二重积分的计算 69 2.4.1 积分区域为圆域 70 2.4.2 积分区域为非圆域 72 2.4.3 积分区域由极坐标方程给定 74 2.4.4 积分区域由一般隐函数给定 75 2.4.5 广义极坐标 77 2.5 二重积分的对称性 78 2.5.1 奇偶性与对称性 79 2.5.2 轮换对称性 81 2.6 分段函数的二重积分 83 2.7 三重积分 (仅限数学一) 87 2.7.1 利用直角坐标计算三重积分 87 2.7.2 如何确定球坐标的上下限 88 2.7.3 利用球坐标计算三重积分 91 2.7.4 三重积分的奇偶性与轮换对称性 93 第 3 章 曲线积分 (仅限数学一) 94 3.1 曲线的弧长 94 3.2 第一型曲线积分 97 3.2.1 第一型曲线积分的定义 97 3.2.2 第一型曲线积分的计算 97 3.2.3 空间曲线的参数化 99 3.3 第一型曲线积分的对称性 102 3.3.1 平面曲线上的第一型曲线积分的对称性 102 3.3.2 空间曲线上的第一型曲线积分的对称性 103 3.4 第二型曲线积分 104 3.4.1 第二型曲线积分的定义 104 3.4.2 第二型曲线积分的计算 105 3.5 格林公式 110 3.5.1 格林公式的直接应用 111 3.5.2 曲线不封闭的情形 111 3.5.3 偏导数不连续的情形 112 3.5.4 格林公式的反向利用 116 3.6 曲线积分与路径无关的等价条件 117 第 4 章 曲面积分 (仅限数学一) 124 4.1 曲面的面积 124 4.1.1 一般简单曲面的情形. 126 4.1.2 平面被圆柱面所截的情形 128 4.1.3 球面被圆柱面所截的情形 129 4.1.4 锥面被圆柱面所截的情形 130 4.2 第一型曲面积分 131 4.2.1 第一型曲面积分的定义 131 4.2.2 第一型曲面积分的计算 132 4.3 第一型曲面积分的对称性 138 4.4 第二型曲面积分 140 4.4.1 曲面的侧 140 4.4.2 第二型曲面积分的计算 141 4.5 两种曲面积分的相互转化 145 4.6 高斯公式 151 4.6.1 直接应用高斯公式 152 4.6.2 曲面不封闭的情形 153 4.6.3 偏导数不连续的情形 155 4.6.4 第二型曲面积分三种方法的比较 158 4.7 斯托克斯公式 160 4.7.1 旋度的计算 161 4.7.2 平面与柱面交线的情形 166 4.7.3 平面与球面交线的情形 167 4.7.4 柱面与球面交线的情形 168 4.7.5 斯托克斯公式与格林公式的统一 170 4.8 微积分的巅峰 170 参考答案 172