非参数与半参数统计/孙志华 尹俊平 陈菲菲

国外非参数和半参数统计的教材和专著很多，但是国内相关的教材很少，少量几种的内容也比较陈旧。非参数和半参数统计的应用非常广泛，本书系统的介绍了非参核核密度估计和非参核回归的相关理论已经生存分析中的基本非参数和半参数方法。本书注重方法的提出的直观背景，讲述方法的理论时尽量避免繁杂的不必要的理论上的复杂，使得方法的讲述脉络清晰，方法的得到非常自然，方法的理论性质是可以直观理解的。非参数和半参数统计的应用非常广泛，本书可以作为概率论与数理统计专业以及计量经济专业的的教材，也可以作为很多经济、生物以及保险等专业的参考书。

本书介绍了现代非参数和半参数统计的基于局部核方法的基本方法和基本理论，主要内容为密度函数以及相关函数的核估计、非参数局部回归方法、生存时间函数的非参数估计以及几类常见的半参数模型的估计和检验. 本书特点是力求把方法的直观背景以及来龙去脉介绍清楚，因而即使内容相对比较复杂，但仍然比较直观易懂.     本书可以作为高等院校数理统计专业、计量经济专业以及相关专业高年级本科生及研究生的教学用书，本书对高等院校和科研机构的研究人员、工程技术人员也具有参考价值.

目录 第 1章预备知识.................................................................................................... 1 1.1背景介绍 ................................................................................................... 1 1.2收敛方式和极限分布 .................................................................................. 2 1.2.1依概率收敛 ...................................................................................... 2 1.2.2几乎必然收敛 .................................................................................. 3 1.2.3 r阶收敛 ......................................................................................... 4 1.2.4依分布收敛 ...................................................................................... 4 1.2.5收敛方式间的关系 ............................................................................ 4 1.3中心极限定理和几个常用的定理 .................................................................. 5 1.3.1中心极限定理 .................................................................................. 5 1.3.2几个常用的定理 ............................................................................... 5 1.3.3 Delta方法 ...................................................................................... 6 1.4记号 op(1)和 Op(1)..................................................................................... 6 第 2章非参数核密度估计 ...................................................................................... 9 2.1介绍 .......................................................................................................... 9 2.2单元密度函数的估计 .................................................................................. 9 2.2.1核密度估计的提出 ........................................................................... 9 2.2.2常用的核函数及其性质 ...................................................................11 2.2.3以 f. n(x)作为密度函数的随机变量的一阶矩和二阶矩 ........................12 2.2.4 f. n(x)的均值、方差和均方误差 ........................................................13 2.3单元核密度估计的带宽选择 .......................................................................15 2.3.1最优带宽 .......................................................................................15 2.3.2拇指法则 .......................................................................................16 2.3.3最小二乘交叉验证法则 ...................................................................17 2.3.4似然交叉验证法则 ..........................................................................18 2.3.5小结 ..............................................................................................19 2.4核函数的选取 ...........................................................................................19 2.4.1等价核函数 ....................................................................................19 2.4.2典型带宽 .......................................................................................20 2.4.3最优核函数 ....................................................................................20 2.5高阶核函数和偏差减少 ..............................................................................21 2.5.1定义 ..............................................................................................21 2.5.2高阶核函数可以减少估计的偏差 ......................................................22 2.5.3构建高阶核函数 .............................................................................23 2.6单元密度函数导数的核估计 .......................................................................25 2.6.1估计的提出 ....................................................................................25 2.6.2均值、方差和均方误差 ....................................................................26 2.6.3最优带宽 .......................................................................................28 2.7单元累积分布函数的估计 ...........................................................................28 2.7.1估计的提出 ....................................................................................28 2.7.2均值、方差和均方误差 ....................................................................29 2.7.3带宽选择以及对均方误差的分析 ......................................................30 2.8多元密度函数的估计 .................................................................................31 2.8.1估计的提出 ....................................................................................31 2.8.2多元核函数的两种构造方法 .............................................................32 2.8.3多元核密度估计的一种推广形式 ......................................................33 2.8.4均值、方差和均方误差 ....................................................................34 2.9多元核密度估计的渐近性质 .......................................................................36 2.9.1渐近正态性 ....................................................................................36 2.9.2一致收敛性 ....................................................................................37 2.9.3边界效应 .......................................................................................38 2.10多元核密度估计的带宽选择 ......................................................................38 2.10.1拇指法则 ...................................................................................38 2.10.2最小二乘交叉验证方法 ...............................................................39 2.11条件密度函数的估计 ................................................................................40 2.11.1估计的提出 ................................................................................40 2.11.2带宽选择 ...................................................................................41 第 3章与密度函数有关的检验...............................................................................43 3.1预备知识 ..................................................................................................43 3.1.1几个基本概念 .................................................................................43 目录 V 3.1.2检验的一般步骤 .............................................................................44 3.2与参数密度函数的比较 ..............................................................................45 3.3检验密度函数是否对称 ..............................................................................47 3.4检验两个未知密度函数是否相等 .................................................................48 3.5检验两个随机向量是否独立 .......................................................................49 3.6自助法检验 ...............................................................................................50 第 4章非参数回归 ...............................................................................................53 4.1局部常数核回归 ........................................................................................54 4.1.1一种直观的推导方法 .......................................................................54 4.1.2另一种推导 ....................................................................................55 4.1.3与参数回归模型的比较 ...................................................................56 4.1.4渐近性质 .......................................................................................56 4.2局部常数核方法的带宽选择 .......................................................................61 4.2.1带宽选择的重要性 ..........................................................................61 4.2.2最优带宽 .......................................................................................62 4.2.3拇指法则 .......................................................................................62 4.2.4 Plug-in方法 ..................................................................................63 4.2.5最小二乘交叉验证方法 ...................................................................63 4.3局部线性核回归 ........................................................................................64 4.3.1估计的提出 ....................................................................................64 4.3.2渐近性质 .......................................................................................65 4.3.3带宽选择 .......................................................................................68 4.4局部多项式回归 ........................................................................................69 4.4.1单元变量情形 .................................................................................69 4.4.2多元情形 .......................................................................................72 4.5变系数模型 ...............................................................................................72 4.5.1模型介绍 .......................................................................................72 4.5.2局部常数核估计方法 .......................................................................74 4.5.3局部线性核估计方法 .......................................................................76 4.6条件分布函数的估计 .................................................................................77 4.6.1一个直接的估计方法 .......................................................................77 4.6.2另一个估计方法 .............................................................................78 4.7非参数分位回归模型 .................................................................................79 4.7.1背景 ..............................................................................................79 4.7.2分位函数和 check函数 ....................................................................79 4.7.3局部线性分位回归方法 ...................................................................81 4.7.4参数分位回归方法简介 ...................................................................81 4.7.5两种其他的非参数分位回归方法 ......................................................82 4.8与非参数回归模型有关的几个检验问题 .......................................................83 4.8.1参数回归模型的检验 .......................................................................83 4.8.2某些协变量是否可以去掉的非参数检验 ............................................87 第 5章非参数生存分析.........................................................................................89 5.1基本概念 ..................................................................................................89 5.2生存函数的估计 ........................................................................................93 5.2.1估计的定义和计算 ..........................................................................94 5.2.2估计的渐近性质 .............................................................................98 5.3概率密度函数的估计 ............................................................................... 100 5.3.1核密度估计 .................................................................................. 101 5.3.2近邻估计 ..................................................................................... 106 5.3.3直方估计 ..................................................................................... 106 5.4危险率函数的估计 ................................................................................... 107 5.4.1核估计方法 .................................................................................. 108 5.4.2直方估计 ..................................................................................... 110 5.4.3近邻估计 ..................................................................................... 111 5.5平均剩余寿命函数的估计 ......................................................................... 111 第 6章部分线性模型 .......................................................................................... 115 6.1部分线性模型可估的识别性条件 ............................................................... 115 6.2部分线性模型参数部分的估计 .................................................................. 116 6.2.1 Robinson的方法 .......................................................................... 116 6.2.2 Li的方法 ..................................................................................... 117 6.3非参数部分的估计 ................................................................................... 118 6.4偏似然估计方法 ...................................................................................... 119 6.5半参有效估计 ......................................................................................... 121 6.5.1半参效率界 .................................................................................. 121 6.5.2半参有效估计的推导 ..................................................................... 121 6.5.3一个可行的半参有效估计 .............................................................. 122 6.6响应变量有缺失时部分线性模型的估计 ..................................................... 123 6.6.1背景 ............................................................................................ 123 目录 VII 6.6.2插补估计方法 ............................................................................... 124 6.6.3半参回归替代估计方法 ................................................................. 125 6.6.4逆概率加权估计方法 ..................................................................... 126 6.6.5带宽选择 ..................................................................................... 127 6.7部分线性模型的检验 ............................................................................... 128 6.8响应变量随机缺失时部分线性模型的检验 ................................................. 130 6.8.1零假设模型的估计 ........................................................................ 130 6.8.2检验统计量及其渐近性质 .............................................................. 131 第 7章单指标模型 ............................................................................................. 135 7.1单指标模型简介 ...................................................................................... 135 7.1.1单指标模型的介绍 ........................................................................ 135 7.1.2单指标模型的识别性问题 .............................................................. 136 7.2平均导数法 ............................................................................................. 137 7.3非线性最小二乘法 ................................................................................... 139 7.4联系函数的估计 ...................................................................................... 141 7.5精确外积导数方法 (ROPG) ...................................................................... 142 7.6最小平均条件方差估计法 ......................................................................... 143 7.7单指标模型的检验问题研究 ..................................................................... 144 第 8章 Cox回归模型......................................................................................... 149 8.1模型介绍 ................................................................................................ 149 8.2偏似然估计方法和检验 ............................................................................ 150 8.2.1回归系数的估计 ........................................................................... 150 8.2.2回归系数的检验 ........................................................................... 151 8.2.3基准危险率函数的估计 ................................................................. 152 8.3 Cox回归模型的检验 ............................................................................... 153 参考文献 ............................................................................................................... 157