拓扑中的几何结构研究

本书致力于研究拓扑元 素中的几何结构，反映处理 拓扑学问题的另一种思路， 介绍了从几何的角度理解拓 扑学的内容。本书强调严密 的逻辑推理和几何抽象理论 应与具体应用相结合，突出 概念、定理的几何背景与意 义，同时对拓扑学的一些经 典内容做了几何化处理。全 书共分三章，第一章作为拓 扑学的必要准备，介绍了关 于度量空间、拓扑空间以及 连续映射的基本概念和相关 结果。第二章属于一般拓扑 学最经典和最重要的内容， 介绍了紧空间和紧化理论、 可数性公理、分离性公理、 仿紧性与单位分解。第三章 介绍了连通性与道路连通性 ，它可以看作是人的直观的 一种数学化，但在某些特殊 的例子上它似乎又与人的直 观不太吻合。本书致力于研 究拓扑元素中的几何结构， 反映处理拓扑学问题的另一 种思路，介绍了从几何的角 度理解拓扑学的内容。

第1章 拓扑空间与连续映射 1.1 度量空间与连续映射 1.1.1 度量结构 1.1.2 度量空间之间的连续映射 1.1.3 连续性：从度量到拓扑 1.2 拓扑空间：定义与基本例子 1.2.1 中拓扑的定义 1.2.2 拓扑空间举例 1.3 拓扑空间里的收敛与连续性 1.3.1 拓扑空间中的收敛 1.3.2 连续映射 1.4 拓扑的构造 1.4.1 基与子基 1.4.2 由映射定义的拓扑 1.4.3 商拓扑 1.4.4 平群作用的商 1.5 拓扑空间中的点与集合 1.5.1 闭集与极限点 1.5.2 闭包，内点与边界点 第2章 紧性、可数性与分离性 2.1 拓扑空间的各种紧性 2.1.1 紧性的定义与例子 2.1.2 紧集的性质 2.2 乘积空间的紧性：Tyehonoff定理 2.2.1 有限积的紧性 2.2.2 Tyclhonoff定理的证明 2.2.3 阅读材料：Tychonoff定理的应用 2.3.1 度量空间的拓扑与非拓扑性质 2.3.2 度量空间中各种紧性的等价性 2.4 映射空间的拓扑 2.4.1 一致收敛拓扑 2.4.2 紧收敛拓扑与紧开拓扑 2.5 映射空间的紧性：Arzela-Ascoli定理 2.5.1 等度连续性 2.5.2 Arzela-Ascoli定理(一般版本) 2.5.3 阅读材料：Blaschke选择定理 2.6 连续函数代数与Stone-Weierstrass定理 2.6.1 连续函数代数C(x，R) 2.6.2 Stone-Weierstrass定理 2.7 可数性公理 2.8 分离性公理 2.8.1 分离性公理 2.8.2 分离性的增强 2.9 Urysohn引理与Urysohn度量化定理 2.9.1 Urysohn引理 2.9.2 Uysohn度量化定理 2.10 Tietze扩张解 2.10.1 Tietze扩张定理 2.10.2 Tietze扩张定理与Urysohn引理的应用 2.11 仿紧性与单位分解